11.如圖,在平面直角坐標系中,A(0,4),C(3,0),
(1)①作線段AB,使得AB、AC關(guān)于y軸對稱,并直接寫出點B的坐標;
②將線段CA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度,得到對應線段CD,使得AD∥x軸,請作出線段CD,并直接寫出點D的坐標;
(2)若直線y=kx平分(1)中四邊形ABCD的面積,請直接寫出實數(shù)k的值.

分析 (1)①如圖1,畫出線段AB,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得點B的坐標;
②如圖2,證明△ACB≌△CAD(AAS),則AD=BC=6,得點D的坐標;
(2)先根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,證明四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì):對角線互相平分得:E是AC的中點,根據(jù)中點坐標公式得出點E的坐標,由直線y=kx平分(1)中四邊形ABCD的面積,可知:直線y=kx一定過點E,可求得k的值.

解答 解:(1)①如圖1,點B的坐標為(-3,0);

②如圖2,∵A(0,4),C(3,0),
∴OA=4,OC=3,
由勾股定理得:AC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5,
同理得:AB=5,
由旋轉(zhuǎn)得:CD=AC=5,
∴AB=CD=AC,
∴∠ABC=∠ACB,∠CAD=∠ADC,
∵AD∥x軸,
∴∠CAD=∠ACB,
∴∠ABC=∠ADC,
∴△ACB≌△CAD(AAS),
∴AD=BC=6,
∴D(6,4);
(2)如圖3,連接BD交AC于E,
∵AB=CD,AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AE=CE,
∵A(0,4),C(3,0),
∴E($\frac{3}{2}$,2),
∵直線y=kx平分(1)中四邊形ABCD的面積,
∴直線y=kx過點E($\frac{3}{2}$,2),
把E($\frac{3}{2}$,2)代入y=kx中得:2=$\frac{3}{2}$k,
k=$\frac{4}{3}$.

點評 本題是一次函數(shù)的綜合題,考查了對稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)和判定,利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)關(guān)系式,圖形與坐標特點,熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和坐標與圖形特點是本題的關(guān)鍵,并注意數(shù)形結(jié)合的思想.

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