Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖①，連接AC，點(diǎn)P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO．求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，點(diǎn)Q為x軸下方拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，直線AQ、BQ分別交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M、N．請(qǐng)問(wèn)DM+DN是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為，或，；（3）為定值8．

【解析】

（1）把點(diǎn)、坐標(biāo)代入拋物線解析式即求得、的值．

（2）點(diǎn)可以在軸上方或下方，需分類討論．①若點(diǎn)在軸下方，延長(zhǎng)到，使構(gòu)造等腰，作中點(diǎn)，即有，利用的三角函數(shù)值，求、的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)．②若點(diǎn)在軸上方，根據(jù)對(duì)稱性，一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯(lián)立，即求出點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點(diǎn)、的縱坐標(biāo)，再求、的長(zhǎng)，即得到為定值．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，﹣3）

解得：

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3

（2）①若點(diǎn)P在x軸下方，如圖1，

延長(zhǎng)AP到H，使AH＝AB，過(guò)點(diǎn)B作BI⊥x軸，連接BH，作BH中點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)AG交BI于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)H作HI⊥BI于點(diǎn)I

∵當(dāng)x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴B（﹣3，）

∵A（1，0），C（0，﹣3）

，，，

中，，

∵AB＝AH，G為BH中點(diǎn)

∴AG⊥BH，BG＝GH

∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG

∵∠PAB＝2∠ACO

∴∠BAG＝∠ACO

中，，

中，，，

，

，，即，

設(shè)直線解析式為

解得：

直線

解得：（即點(diǎn)，

，；

②若點(diǎn)在軸上方，如圖2，

在上截取，則與關(guān)于軸對(duì)稱

，

設(shè)直線解析式為

解得：

直線

解得：（即點(diǎn)，

，．

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，．

（3）為定值，

拋物線的對(duì)稱軸為：直線

，

設(shè)，

設(shè)直線解析式為

解得：

直線

當(dāng)時(shí)，

設(shè)直線解析式為

解得：

直線

當(dāng)時(shí)，

，為定值．