Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與P₂（x₂，y₂）的“友好距離”，給出如下定義：
若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）的“友好距離”為|x₁-x₂|；
若|x₁-x₂|＜|y₁-y₂|，則P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P₂（x₂，y₂）的“友好距離”為|y₁-y₂|；
（1）已知點(diǎn)A（-$\frac{3}{2}$，0），B為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，
①若點(diǎn)A與B的“友好距離為”3，寫出滿足條件的B點(diǎn)的坐標(biāo)：（0，3）或（0，-3）．
②直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“友好距離”的最小值$\frac{3}{2}$．
（2）已知C點(diǎn)坐標(biāo)為C（m，$\frac{2}{3}$m+3）（m＜0），D（0，1），求點(diǎn)C與D的“友好距離”的最小值及相應(yīng)的C點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．由“友好距離”的定義可以確定|0-y|=3，據(jù)此可以求得y的值；
②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．因?yàn)閨-$\frac{3}{2}$-0|≥|0-y|，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“友好距離”最小值為$\frac{3}{2}$；
（2）求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“友好距離”的最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義“若|x₁-x₂|≥|y₁-y₂|，則P₁與P₂的“友好距離”為|x₁-x₂|”，此時(shí)|x₁-x₂|=|y₁-y₂|，即|m|=|$\frac{2}{3}$m+2|，解方程得m的值即可．

解答 解：（1）①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，y）．
∵|-$\frac{3}{2}$-0|=$\frac{3}{2}$≠3，
∴|0-y|=3，
解得，y=3或y=-3；
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3）或（0，-3）；
故填寫：（0，3）或（0，-3）．
②根據(jù)題意，得：|-$\frac{3}{2}$-0|≥|0-y|，
即|y|≤$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“友好距離”的最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$；


（2）∵C（m，$\frac{2}{3}$m+3），D（0，1），
∴|m|=|$\frac{2}{3}$m+2|，
∵m＜0，
當(dāng)m≤-3時(shí)，m=$\frac{2}{3}$m+2，解得m=6，（舍去）；
當(dāng)-3＜m＜0時(shí)，-m=$\frac{2}{3}$m+2，解得m=-$\frac{6}{5}$，
∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“友好距離”的最小值為：|m|=$\frac{6}{5}$，
此時(shí)C（-$\frac{6}{5}$，$\frac{11}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要弄清楚題干中的已知條件及本題中的“友好距離”的定義．