Question

11．證明：對于任意整數(shù)n，n（n+1）（n+5）+6n+6一定是6的倍數(shù)．

Answer 1

分析 先把原式分解因式，再判斷三個連續(xù)整數(shù)（里面沒有0）的積一定是6的倍數(shù)．

解答 解：∵n（n+1）（n+5）+6n+6
=n（n+1）（n+5）+6（n+1）
=（n+1）[n（n+5）+6]
=（n+1）（n2+5n+6）
=（n+1）（n+2）（n+3）
∴（n+1），（n+2），（n+3）是連續(xù)的整數(shù)，
∵n為整數(shù)，
∴n+1，n+2，n+3都不為零，
∵三個連續(xù)整數(shù)中，一定有一個數(shù)被3整除，
∴一定有一個因數(shù)3，
∵至少有一個數(shù)是偶數(shù)，
∴一定有一個因數(shù)2，
∴三個連續(xù)的整數(shù)一定是6的倍數(shù)．
即：n（n+1）（n+5）+6n+6一定是6的倍數(shù)．

點評 此題是約數(shù)與倍數(shù)題目，主要考查了因式分解，非零的三個連續(xù)整數(shù)的積是6的倍數(shù)是解本題的關(guān)鍵．