Question

10．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在DC延長線上，AE=BF．
（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形ABFE是平行四邊形，只要證明AE∥BF，EF∥AB即可．
（2）先證明△AEB是直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．
∴∠BCF=180°-∠BCD=180°-90°=90°．
∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}AE=BF\\ AD=BC.\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴∠1=∠F．
∴AE∥BF．
∵AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形．

（2）解：∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠1=90°．
∵∠BEF=∠DAE，
∴∠BEF+∠1=90°．
∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，
AB=$\sqrt{A{E^2}+B{E^2}}=\sqrt{{3^2}+{4^2}}=5$．
∵四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EF=AB=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)的應(yīng)用，屬于中考基礎(chǔ)題，�？碱}型．