Question

19．如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，AB經(jīng)過(guò)圓心O，且與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B．小圓的切線AC與大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB．
（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．

Answer 1

分析 （1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關(guān)系是相切．
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關(guān)系是前兩者的和等于第三者．
（3）根據(jù)大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環(huán)的面積．

解答 解：（1）BC所在直線與小圓相切．
理由如下：
過(guò)圓心O作OE⊥BC，垂足為E；
∵AC是小圓的切線，AB經(jīng)過(guò)圓心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直線是小圓的切線．

（2）AC+AD=BC．
理由如下：
連接OD．
∵AC切小圓O于點(diǎn)A，BC切小圓O于點(diǎn)E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．

（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=4cm，
∵圓環(huán)的面積為：S=π（OD）²-π（OA）²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=4²π=16π（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，①已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可，②所證切線與圓的交點(diǎn)不明確，可以過(guò)圓心作該直線的垂線段，證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑．