Question

9．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AC、BF．
（1）如圖1，求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）如圖2，連接DE交AC于點(diǎn)G，若DE⊥AF，∠ADE=30°，判斷四邊形ABFC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形ABFC是平行四邊形，只需推知AE=EF即可；
（2）首先推知四邊形ABFC為平行四邊形，證出BC=AF，即可得出四邊形ABFC是矩形．

解答 （1）證明：在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAE=∠EFC，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EFC}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=EF．
又∵BE=CE，
∴四邊形ABFC是平行四邊形；

（2）結(jié)論：四邊形ABFC是矩形．
理由：∵DE⊥AF，AE=EF，
∴DE是AF的垂直平分線，
∴AD=DE，
∴∠ADF=2∠ADE=60°，
∴△AFE是等邊三角形，
∴AF=AD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∴BC=AF，
∴平行四邊形ABFC是矩形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定．本題綜合性強(qiáng)，難度適中，證明三角形全等和平行四邊形是解決問題的關(guān)鍵．