Question

15．如圖，在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，∠BAD的平分線交BC于點E，DH⊥AE于點H，連結(jié)BH并延長并CD于點F，連結(jié)DE交BF于點O，下列結(jié)論：
①∠AED=∠CED；
②OE=OD；
③AB=HF；
④BC-CF=2HE；
⑤BH=HF，
其中正確的序號有①②④⑤．

Answer 1

分析 ①根據(jù)角平分線的定義可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=$\sqrt{2}$AB，從而得到AE=AD，然后證得△ABE≌△AHD全等，即可得BE=DH，繼而求得∠CED=67.5°；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OD=OH；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，即可證得△BEH≌△HDF，則可得BH=HF；
④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=HE，然后根據(jù)HE=AE-AH=BC-CD，BC-CF=BC-（CD-DF）=2HE；
⑤判斷出△ABH不是等邊三角形，從而得到AB≠BH，則可得AB≠HF．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=$\sqrt{2}$AB，
∵AD=$\sqrt{2}$AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAE}\\{∠ABE=∠AHD=90°}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正確；
∵∠AHB=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB，
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DOH=90°-67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°-45°=22.5°，
∴∠DOH=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正確；
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又∵BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°
在△BEH和△HDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBH=∠OHD}\\{BE=DH}\\{∠AEB=∠HDF}\end{array}\right.$，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故⑤正確；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF，
∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，故④正確；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等邊三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故③錯誤；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABE≌△AHD與△BEH≌△HDF是解此題的關(guān)鍵．