Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上，OC=3，OA=2$\sqrt{6}$，D是BC的中點(diǎn)，將△OCD沿直線OD折疊后得到△OGD，延長(zhǎng)OG交AB于點(diǎn)E，連接DE，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 過點(diǎn)G作GF⊥OA于點(diǎn)F，根據(jù)全等直角三角形的判定定理（HL）證出Rt△DGE≌Rt△DBE，從而得出BE=GE，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于AE長(zhǎng)度的方程，解方程可得出AE的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出比例關(guān)系$\frac{OF}{OA}=\frac{GF}{EA}=\frac{OG}{OE}$，代入數(shù)據(jù)即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答 解：過點(diǎn)G作GF⊥OA于點(diǎn)F，如圖所示．
∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴DC=DB=DG，
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，∠C=∠OGD=∠ABC=90°．
在Rt△DGE和Rt△DBE中，$\left\{\begin{array}{l}{DB=DG}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DGE≌Rt△DBE（HL），
∴BE=GE．
設(shè)AE=a，則BE=3-a，OE=$\sqrt{O{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{24+{a}^{2}}$，OG=OC=3，
∴OE=OG+GE，即$\sqrt{24+{a}^{2}}$=3+3-a，
解得：a=1，
∴AE=1，OE=5．
∵GF⊥OA，EA⊥OA，
∴GF∥EA，
∴$\frac{OF}{OA}=\frac{GF}{EA}=\frac{OG}{OE}$，
∴OF=$\frac{OG•OA}{OE}$=$\frac{3×2\sqrt{6}}{5}$=$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，GF=$\frac{OG•EA}{OE}$=$\frac{3×1}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
故答案為：（$\frac{6\sqrt{6}}{5}$，$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出線段AE的長(zhǎng)度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用勾股定理得出邊與邊之間的關(guān)系是關(guān)鍵．