Question

4．如圖，一次函數(shù)y₁=k₁x+b 與反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$ 的圖象交于點(diǎn)A（2，m）和B（-6，-2），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）y₁=x+4，y₂=$\frac{12}{x}$；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng) y₁＜y₂時(shí)，x的取值范圍是x＜-6或0＜x＜2；
（3）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，求△ABD的面積和周長．
（4）點(diǎn)P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)，∠POD≤45°，P、O兩點(diǎn)之間距離是5，在象限角平分線上有一點(diǎn)Q，且線段QP與QA和最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合點(diǎn)A的橫坐標(biāo)即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可找出不等式的解；
（3）連接BD，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式即可求出AD、AB、BD的長度，從而可求出△ABD的周長，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出△ABD的面積；
（4）過點(diǎn)O作第一三象限的角平分線l，連接AP交直線l于點(diǎn)Q，此時(shí)PQ+AQ最短，根據(jù)OP=5以及點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，由點(diǎn)A、P的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式，聯(lián)立直線AP和l解析式成方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B（-6，-2）在反比例函數(shù)y₂=$\frac{{k}_{2}}{x}$ 的圖象上，
∴-2=$\frac{{k}_{2}}{-6}$，解得：k₂=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=$\frac{12}{x}$．
∵點(diǎn)A（2，m）在反比例函數(shù)y₂=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴m=$\frac{12}{2}$=6，即A（2，6）．
將A（2，6）、B（-6，-2）代入y₁=k₁x+b中，
得$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}+b=6}\\{-6{k}_{1}+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)y₁=x+4．
故答案為：x+4；$\frac{12}{x}$．
（2）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)x＜-6或0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
∴當(dāng) y₁＜y₂時(shí)，x的取值范圍是x＜-6或0＜x＜2．
故答案為：x＜-6或0＜x＜2．
（3）連接BD，如圖1所示．
∵點(diǎn)A（2，6），
∴點(diǎn)D（2，0），
∴AB=8$\sqrt{2}$，AD=6，BD=2$\sqrt{17}$，
∴C_△ABD=AB+BD+AD=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{17}$+6．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AD•（x_A-x_B）=$\frac{1}{2}$×6×[2-（-6）]=24．
（4）過點(diǎn)O作第一三象限的角平分線l，連接AP交直線l于點(diǎn)Q，此時(shí)PQ+AQ最短，如圖2所示．
∵直線l為第一三象限的角平分線，
∴直線l的解析式為y=x．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n）（0＜n＜m），
∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)y₂=$\frac{12}{x}$的圖象上，且OP=5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=12}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=25}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-4}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)P（4，3）．
設(shè)直線AP的解析式為y=ax+c，
則有$\left\{\begin{array}{l}{6=2a+c}\\{3=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴直線AP的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+9．
聯(lián)立直線AP、l的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x+9}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18}{5}}\\{y=\frac{18}{5}}\end{array}\right.$．
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{18}{5}$，$\frac{18}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面以及周長，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解決不等式；（3）求出線段AD、AB、BD的長度；（4）找出點(diǎn)Q的位置．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．