【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3aa0的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),y軸的正半軸交于點(diǎn)C頂點(diǎn)為D

1求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)用含a的代數(shù)式表示).

2若以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C

①求a的值

②如圖2,點(diǎn)Ey軸負(fù)半軸上一點(diǎn),連接BE將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到△PMN點(diǎn)P、MN分別和點(diǎn)O、BE對(duì)應(yīng)),并且點(diǎn)M、N都在拋物線上MFx軸于點(diǎn)F,若線段BF=2MF,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)

③如圖3,點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上,Q為圓心的圓過A、B兩點(diǎn),并且和直線CD相切,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)

【答案】1D14a);(2a=1M, )、N, );Q的坐標(biāo)為(1, )或(1 ).

【解析】分析: (1)將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)①以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,即點(diǎn)C在以AD為直徑的圓的圓周上,依據(jù)圓周角定理不難得出△ACD是個(gè)直角三角形,且∠ACD=90°,A點(diǎn)坐標(biāo)可得,而C、D的坐標(biāo)可由a表達(dá)出來,在得出AC、CD、AD的長度表達(dá)式后,依據(jù)勾股定理列等式即可求出a的值.

②將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN,說明了PM正好和x軸平行,且PM=OB=1,所以求M、N的坐標(biāo)關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo);首先根據(jù)①的函數(shù)解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)題干條件:BF=2MF作為等量關(guān)系進(jìn)行解答即可.

③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G,連接QG,由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出∠CDQ=45°,那么△QGD為等腰直角三角形,即QD =2QG =2QB ,設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后用Q點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)出QD、QB的長,根據(jù)上面的等式列方程即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

詳解:

1y=ax2﹣2ax﹣3a=ax﹣12﹣4a,

D1,﹣4a).

2)①∵以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C,

∴△ACD為直角三角形,且∠ACD=90°;

y=ax2﹣2ax﹣3a=ax﹣3)(x+1)知,A3,0)、B﹣1,0)、C0﹣3a),則:

AC2=9a2+9CD2=a2+1、AD2=16a2+4

由勾股定理得:AC2+CD2=AD2,即:9a2+9+a2+1=16a2+4,

化簡,得:a2=1,由a0,得:a=﹣1,

②∵a=﹣1

∴拋物線的解析式:y=﹣x2+2x+3,D1,4).

∵將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN,

PMx軸,且PM=OB=1;

設(shè)Mxx2+2x+3),則OF=xMF=﹣x2+2x+3,BF=OF+OB=x+1;

BF=2MF,

x+1=2x2+2x+3),化簡,得:2x2﹣3x﹣5=0

解得:x1=1(舍去)、x2=.

M, )、N, ).

③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G,連接QG,過CCHQDH,如下圖:

C0,3)、D1,4),

CH=DH=1,即△CHD是等腰直角三角形,

∴△QGD也是等腰直角三角形,即:QD2=2QG2;

設(shè)Q1,b),則QD=4﹣b,QG2=QB2=b2+4;

得:(4﹣b2=2b2+4),

化簡,得:b2+8b8=0,解得:b=4±2;

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1 )或(1, ).

點(diǎn)睛: 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、圓周角定理以及直線和圓的位置關(guān)系等重要知識(shí)點(diǎn);后兩個(gè)小題較難,最后一題中,通過構(gòu)建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半徑間的數(shù)量關(guān)系是解題題目的關(guān)鍵.

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通過分析我們發(fā)現(xiàn),滿足題意的情況有兩種:情況當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí),如圖1,此時(shí),AC=11

情況②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí), 如圖2此時(shí),AC=5.

仿照上面的解題思路,完成下列問題:

問題(1): 如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)分別是-12,點(diǎn)C是數(shù)軸上一點(diǎn),且BC=2AB,則點(diǎn)C表示的數(shù)是.

問題(2): 若,的值.

問題(3): 點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),以O為端點(diǎn)作射線OC、OD,使,求的度數(shù)(畫出圖形,直接寫出結(jié)果).

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(1)求每副圍棋和每副中國象棋各多少元;

(2)實(shí)驗(yàn)中學(xué)決定購買圍棋和中國象棋共40副,總費(fèi)用550元,那么實(shí)驗(yàn)中學(xué)可以購買多少副圍棋.

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定義:對(duì)于自然數(shù),在計(jì)算時(shí),各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位,則稱這個(gè)自然數(shù)純數(shù),例如:32純數(shù),因?yàn)橛?jì)算時(shí),各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位;23不是純數(shù),因?yàn)橛?jì)算時(shí),個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位.

1)判斷20192020是否是純數(shù)?請(qǐng)說明理由;

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請(qǐng)用配方法解方程x2﹣9x﹣10=0,以驗(yàn)證猜想結(jié)論的正確性.

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