Question

19．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax²-6ax+c．與x軸從左到右依次交于點A、B與y軸交于點C，其中點A的坐標為（1，0），且OB=OC．
（1）如圖1，求a、c的值；
（2）如圖2，點D在x軸下方的拋物線上，CD交x軸于點E，連接BC、BD若S_△BCD=10，求點D的坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件先，過點B作BF⊥BD，交CD于點F，點P在第一象限的拋物線上，連接PF、OD，若∠PFC=∠ODB，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）用拋物線的對稱軸額確定方法確定出對稱軸，從而求出點C坐標，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）設出點D的坐標，表示出BE，用S_△BCD=10建立方程求解即可；
（3）借助三角函數(shù)判斷出BH=3FH，再判斷出△FHB≌△BTD，最后設出點P，建立方程求解即可．

解答 解（1）∵拋物線y=ax²-6ax+c，
∴拋物線的對稱軸為x=-$\frac{-6a}{2a}$=3，
∵A（1，0），
∴B（5，0），
∴OC=OB=5，
∴C（0，5），
∵拋物線過點A和C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-6a+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-6x+5，
（2）如圖2，

過點D作DT⊥x軸于T，
設D（t，t²-6t+5），
∴直線CD的解析式為y=（t-6）x+5，
∴E（-$\frac{5}{t-6}$，0）
∴BE=5+$\frac{5}{t-6}$，
∵S_△BCD=10，
∴$\frac{1}{2}$BE×OC+$\frac{1}{2}$BE×DT=10，
∴$\frac{1}{2}$BE（OC+DT）=10，
∴$\frac{1}{2}$（5+$\frac{5}{t-6}$）（5-t2+6t-5）=10，
∴t=1（舍）或t=4，
∴D（4，-3），
（3）如圖3，

過點F作FH⊥x軸于H，過PG⊥FH于G，
由（2）知，E（$\frac{5}{2}$，0），D（4，-3），
∴直線CD解析式為y=-2x+5，
∵BT=OB-OT=1，DT=3．
∴tan∠ABD=$\frac{DT}{BT}$=3，
∵BF⊥BD，
∴∠FHB+∠ABD=90°，
∵FH⊥x軸，
∴∠FHB=90°，
∴∠FBH+∠HFB=90°，
∴∠ABD=∠HFB，
∴tan∠ABD=tan∠HFB，
∴BH=3FH，
設F（m，-2m+5），
∴FH=-2m+5，BH=5-m，
∴5-m=3（-2t+5），
∴m=2，
∴F（2，1），
∴FH=BT，
∵∠FHB=∠BTD=90°，∠HFB=∠TBD，
∴△FHB≌△BTD，
∴BF=BD，
∴∠BDF=45°，
∵AT=4，TD=3，
∴OD=5=OC，
∴∠ODB=45°+∠ODC=45°+∠OCD，
∵∠PFC=∠PFG+∠GFC=∠PFG+∠OCD，
∴∠PFG=45°，
∴GP=GF，
設P（n，n²-6n+5），
∴PG=n-2，
∴GF=n-2，GH=n-2+1=n-1，
∴n²-6n+5=n-1，
∴n=1（舍）或n-6，
∴P（6，5）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了拋物線的對稱性，待定系數(shù)法求拋物線解析式，全等三角形的性質(zhì)和判定，用分割法求三角形的面積的方法，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是用S_△BCD=10建立方程求出點D的坐標，用方程的思想是解本題的難點．