Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，M是AB的中點．
（1）求證：平面A1CM⊥平面ABB1A1；
（2）求點M到平面A1CB1的距離．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：（Ⅰ）由A1A⊥平面ABC，CM平面ABC，則A1A⊥CM．

由AC=CB，M是AB的中點，則AB⊥CM．

又A1A∩AB=A，則CM⊥平面ABB1A1，

又CM平面A1CM，

所以平面A1CM⊥平面ABB1A1．

（2）解：（Ⅱ）設點M到平面A1CB1的距離為h，

由題意可知 ， ， ．

由（Ⅰ）可知CM⊥平面ABB1A1，得：

，

所以，點M到平面A1CB1的距離 ．

【解析】（Ⅰ）推導出A1A⊥CM，AB⊥CM．由此能證明平面A1CM⊥平面ABB1A1 ． （Ⅱ）設點M到平面A1CB1的距離為h，由 ，能求出點M到平面A1CB1的距離．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)．