Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DH垂直平分AB交AC于點(diǎn)E，連接BE、CD，且CD=CE．
（1）如圖1，求證：四邊形BCDE是平行四邊形；
（2）如圖2，點(diǎn)F在AB上，且BF=BC，連接BD，若BD平分∠ABC，試判斷DF與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AE=BE，∠AHE=∠BHE=90°，推出∠A=∠ABE，∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°，求出∠AEH=∠ACB=∠BEH，求出∠D=∠BEH，∠CED=∠ACB，根據(jù)平行線的判定得出BE∥CD，BC∥ED，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出HE=HF，根據(jù)SAS推出△DHF≌△AHE，根據(jù)全等得出∠A=∠FDH，求出∠EGD=90°即可．

解答 （1）證明：∵DH垂直平分AB交AC于點(diǎn)E，
∴AE=BE，∠AHE=∠BHE=90°，
∴∠A=∠ABE，∠A+∠AEH=∠ABE+∠BEH=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ACB=90°，
∴∠AEH=∠ACB=∠BEH，
∵CE=CD，
∴∠D=∠CED，
∵∠AEH=∠CED，
∴∠D=∠BEH，∠CED=∠ACB，
∴BE∥CD，BC∥ED，
∴四邊形BCDE是平行四邊形；

（2）DF⊥AC，
證明：∵四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE=BC，
∵BC=BF，
∴BF=DE，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠HBD=45°，
∵∠BHD=90°，
∴∠HBD=∠HDB=45°，
∴DH=BH=AH，
∴DH-DE=BH-BF，
∴HE=HF，
在△DHF和△AHE中
$\left\{\begin{array}{l}{DH=AH}\\{∠DHF=∠AHE}\\{HF=HE}\end{array}\right.$
∴△DHF≌△AHE，
∴∠A=∠FDH，
∵∠A+∠AEH=90°，∠DEC=∠AEH，
∴∠FDH+∠DEC=90°，
∴∠EGD=180°-90°=90°，
∴DF⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．