Question

2．已知：如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊長BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，且AB=3．
（1）若雙曲線的一個分支恰好經(jīng)過點(diǎn)A，求雙曲線的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，試求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OBA中，由∠AOB=30°，AB=3利用特殊角的正切值即可求出OB的長度，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)雙曲線的解析式為y=$\frac{k}{x}$（k≠0），利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；
（2）在Rt△OBA中，利用勾股定理即可求出OA的長度，在等腰直角三角形ODC中，根據(jù)OC的長度可求出OD的長，結(jié)合圖形即可得出陰影部分的面積為扇形AOA′的面積減去三角形ODC的面積，結(jié)合扇形與三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$，
∴OB=$\frac{AB}{tan∠AOB}$=$\frac{3}{tan30°}$=3$\sqrt{3}$，
∴A（3，3$\sqrt{3}$）．
設(shè)雙曲線的解析式為y=$\frac{k}{x}$（k≠0），
∴3$\sqrt{3}$=$\frac{k}{3}$，k=9$\sqrt{3}$，
∴雙曲線的解析式為y=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$．
（2）在Rt△OBA中，AB=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠ABO=90°，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}+O{B}^{2}}$=6．
∵∠AOA′=90°-∠AOB=60°，
∴S_扇形AOA′=$\frac{60}{360}$πOA²=6π．
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3$\sqrt{3}$，
∴OD=OC•cos∠DOC=3$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴S_陰影=S_扇形AOA′-S_△DOC=6π-$\frac{1}{2}$OD²=6π-$\frac{27}{4}$．
答：圖中陰影部分的面積為（6π-$\frac{27}{4}$）平方單位．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用分割圖形求面積法求出陰影部分的面積．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，將不規(guī)則的圖形的面積表示成多個規(guī)則圖形的面積之和（差）的形式是關(guān)鍵．