Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+1與拋物線y=ax²+bx﹣3交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3．點P是直線AB下方的拋物線上一動點（不與A、B點重合），過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，作PD⊥AB于點D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）設點P的橫坐標為m；

①用含有m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD長的最大值；

②連接PB，線段PC把△PDB分成兩個三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個三角形的面積之比為9：10？若存在，直接寫出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【專題】壓軸題；數形結合．

【分析】（1）已知直線AB的解析式，首先能確定A、B點的坐標，然后利用待定系數法確定a、b的值；若設直線AB與y軸的交點為E，E點坐標易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，則∠ACP的正弦值可得．

（2）①已知P點橫坐標，根據直線AB、拋物線的解析式，求出C、P的坐標，由此得到線段PC的長；在Rt△PCD中，根據（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表達式，再根據所得函數的性質求出PD長的最大值．

②在表達△PCD、△PBC的面積時，若都以PC為底，那么它們的面積比等于PC邊上的高的比．分別過B、D作PC的垂線，首先求出這兩條垂線段的表達式，然后根據題干給出的面積比例關系求出m的值．

【解答】解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．

由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．

∵y=ax²+bx﹣3經過A、B兩點，

∴

∴，

則拋物線的解析式為：y=x²﹣x﹣3，

設直線AB與y軸交于點E，則E（0，1）．

∵PC∥y軸，

∴∠ACP=∠AEO．

∴sin∠ACP=sin∠AEO===．

（2）①由（1）知，拋物線的解析式為y=x²﹣x﹣3．則點P（m， m²﹣m﹣3）．

已知直線AB：y=x+1，則點C（m， m+1）．

∴PC=m+1﹣（m²﹣m﹣3）=﹣m²+m+4=﹣（m﹣1）²+

Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[﹣（m﹣1）²+]•=﹣（m﹣1）²+

∴PD長的最大值為：．

②如圖，分別過點D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分別為F、G．

∵sin∠ACP=，

∴cos∠ACP=，

又∵∠FDP=∠ACP

∴cos∠FDP==，

在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m²﹣2m﹣8）．

又∵BG=4﹣m，

∴====．

當==時，解得m=；

當==時，解得m=．

【點評】本題考查了二次函數的應用以及解析式的確定、解直角三角形、圖形面積的求法等知識，主要考查學生數形結合思想的應用能力．