Question

【題目】小明在矩形紙片上畫(huà)正三角形，他的做法是：①對(duì)折矩形紙片ABCD(AB>BC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC，最后用筆畫(huà)出△PBC(圖1)．

（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形：

（2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫(huà)了一個(gè)正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求證：IH=IJ

②請(qǐng)求出NJ的長(zhǎng)；

（3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長(zhǎng)為6cm，當(dāng)另一邊的長(zhǎng)度a變化時(shí)，在矩形紙片上總能畫(huà)出最大的正三角形，但位置會(huì)有所不同．請(qǐng)根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫(huà)出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說(shuō)明問(wèn)題即可)，并直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①證明見(jiàn)解析；②12-6（3）3＜a＜4，a＞4

【解析】（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點(diǎn)Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，繼而可得∠NQJ=30°，設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫(huà)出圖形即可．

（1）證明：∵①對(duì)折矩形紙片ABCD(AB>BC)，使AB與DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）證明：①如圖

∵矩形AHIJ

∴∠H=∠J=90°

∵△MNJ是等邊三角形

∴MI=NI

在Rt△MHI和Rt△JNI中

∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）

∴HI=IJ

②在線段IJ上取點(diǎn)Q，使IQ=NQ

∵Rt△IHM≌Rt△IJN，

∴∠HIM=∠JIN，

∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，

∴∠HIM=∠JIN=15°，

由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°，

∴∠NQJ=30°，

設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，

∵IJ=6cm，

∴2x+x=6，

∴x=12-6，即NJ=12-6（cm）．

（3）分三種情況：

①如圖：

設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為b，則0＜b≤6，

則tan60°=，

∴a=，

∴0＜b≤=；

②如圖

當(dāng)DF與DC重合時(shí)，DF=DE=6，

∴a=sin60°×DE==，

當(dāng)DE與DA重合時(shí)，a=，

∴＜a＜；

③如圖

∵△DEF是等邊三角形

∴∠FDC=30°

∴DF=

∴a＞