Question

12．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點o和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D．直線y=-2x-1經(jīng)過拋物線上一點B（-2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F．
（1）求m的值及該拋物線對應(yīng)的解析式；
（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S_△ADP=S_△ADC，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；
（3）點Q是平面內(nèi)任意一點，點M從點F出發(fā)，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，設(shè)點M的運(yùn)動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形．若能，請直接寫出點M的運(yùn)動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點B的坐標(biāo)和m的值，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，因為面積相等，所以AD邊上的高相等，即為1；從而得到點P的縱坐標(biāo)為1，再利用拋物線的解析式求出點P的縱坐標(biāo)；
（3）如解答圖所示，在點M的運(yùn)動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形，注意不要漏解．針對每一個菱形，分別進(jìn)行計算，求出線段MF的長度，從而得到運(yùn)動時間t的值．

解答 解：（1）∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上
∴m=-2×（-2）-1=4-1=3，
所以，點B（-2，3），
又∵拋物線經(jīng)過原點O，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
∵點B（-2，3），A（4，0）在拋物線上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b=3}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x．

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點，
∴P（x，$\frac{1}{4}$x²-x），
若S_△ADP=S_△ADC，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$AD•OC，S△ADP=$\frac{1}{2}$AD•|y|
又∵點C是直線y=-2x-1與y軸交點，
∴C（0，-1），
∴OC=1，
∴|$\frac{1}{4}$x²-x|=$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}$x²-x=1或$\frac{1}{4}$x²-x=-1，
解得：x₁=2+2$\sqrt{2}$，x₂=2-2$\sqrt{2}$，x₃=x₄=2，
∴點P的坐標(biāo)為 P₁（2+2$\sqrt{2}$，1），P₂（2-2$\sqrt{2}$，1），P₃（2，-1）

（3）結(jié)論：存在．如圖2
∵拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x，
∴頂點E（2，-1），對稱軸為x=2；
點F是直線y=-2x-1與對稱軸x=2的交點，∴F（2，-5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=$\sqrt{5}$．
如右圖所示，在點M的運(yùn)動過程中，依次出現(xiàn)四個菱形：
①菱形AEM₁Q₁．
∵此時EM₁=AE=$\sqrt{5}$，
∴M₁F=DF-DE-DM₁=4-$\sqrt{5}$，
∴t₁=4-$\sqrt{5}$；
②菱形AEOM₂．
∵此時DM₂=DE=1，
∴M₂F=DF+DM₂=6，
∴t₂=6；
③菱形AEM₃Q₃．
∵此時EM₃=AE=$\sqrt{5}$，
∴DM₃=EM₃-DE=$\sqrt{5}$-1，
∴M₃F=DM₃+DF=（$\sqrt{5}$-1）+5=4+$\sqrt{5}$，
∴t₃=4+$\sqrt{5}$；
④菱形AM₄EQ₄．
此時AE為菱形的對角線，設(shè)對角線AE與M₄Q₄交于點H，則AE⊥M₄Q₄，
∵易知△AED∽△M₄EH，
∴$\frac{{M}_{4}E}{AE}$=$\frac{EH}{DE}$，
即$\frac{{M}_{4}E}{\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}$，得M₄E=2.5，
∴DM₄=M₄E-DE=2.5-1=1.5，
∴M₄F=DM₄+DF=1.5+5=6.5，
∴t₄=6.5．
綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t₁=4-$\sqrt{5}$，t₂=6，t₃=4+$\sqrt{5}$，t₄=6.5．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，考查的知識點包括二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、圖形面積、菱形的判定與性質(zhì)等，由于涉及考點眾多，所以難度較大．第（2）問是存在型問題，要點在于利用面積的相等關(guān)系求出點P的縱坐標(biāo)，然后運(yùn)用方程思想求得其橫坐標(biāo)；第（3）問是運(yùn)動型問題，注意符合條件的菱形有四個，避免漏解．