Question

【題目】如圖，已知直線y=kx(k>0)與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,第一象限的雙曲線上有一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ//y軸交直線AB于點(diǎn)Q．

（1）直接寫出k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)：

（2）求線段PQ的長；

（3）如果在直線y=kx上有一點(diǎn)M,且滿足△BPM的面積等于12,求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)或

【解析】

（1）先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，再代入直線解析式可求得k的值，根據(jù)對稱性可求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由反比例函數(shù)解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由直線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，可求得PQ的長；
（3）可設(shè)M坐標(biāo)為（m，2m），分點(diǎn)M在線段BQ的延長線上和線段QB的延長線上兩種情況，分別表示出△BPM的面積，可求得m的值，可求得M的坐標(biāo)．

解：（1）∵A在雙曲線上，且A的縱坐標(biāo)為4，
∴A坐標(biāo)為（2，4），
代入直線y=kx，可得4=2k，解得k=2，
又A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-4）．
（2）∵點(diǎn)P（1，a）在雙曲線上，

∴代入，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，8）．
∵PQ∥y軸，且點(diǎn)Q在直線AB上，
∴可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，b）．
代入y=2x，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，2）．
∴PQ=6．
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．

①當(dāng)點(diǎn)M在BQ的延長線上時(shí)，S△BPM=S△BPQ+S△MPQ，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）．
②當(dāng)點(diǎn)M在QB的延長線上時(shí)，S△BPM=S△MPQ-S△BPQ，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-6，-12）．
綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），（-6，-12）．