Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形AOB的直角頂點(diǎn)A在第四象限，頂點(diǎn)B（0，-2），點(diǎn)C（0，1），點(diǎn)D在邊AB上，連接CD交OA于點(diǎn)E，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，若△ADE和△OCE的面積相等，則k的值為-$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 先過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F，構(gòu)造等腰直角三角形BDF，再根據(jù)△ADE和△OCE的面積相等，得出△BCD和△AOB的面積相等，最后根據(jù)△BCD的面積求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可得出k的值．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥OB于F，
∵等腰直角三角形AOB的頂點(diǎn)B（0，-2），點(diǎn)C（0，1），
∴OB=2，AO=AB=$\sqrt{2}$，BC=3，DF=BF，
∴△AOB的面積=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=1，
又∵△ADE和△OCE的面積相等，
∴△BCD和△AOB的面積相等，
∴△BCD的面積為1，
即$\frac{1}{2}$×BC×DF=1，
∴$\frac{1}{2}$×3×DF=1，
解得DF=$\frac{2}{3}$
∴BF=$\frac{2}{3}$，
∴OF=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴D（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
∵反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，
∴k=$\frac{2}{3}$×（-$\frac{4}{3}$）=-$\frac{8}{9}$．
故答案為：-$\frac{8}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將點(diǎn)D的坐標(biāo)與比例系數(shù)k聯(lián)系起來(lái)．