Question

10．如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE=3．若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（　�。�

• A． $\frac{8}{5}$
• B． 2
• C． $\frac{12}{5}$
• D． $\frac{14}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意有C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小，MN最大，根據(jù)勾股定理求得AB，根據(jù)三角形面積求得CF，然后根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求得MN的最大值．

解答 解：過O作OG垂于G，連接OC，
∵OC=$\frac{3}{2}$，只有C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OE最小，
連接OM，
∴OM=$\frac{3}{2}$，
∴只有OG最小，GM才能最大，從而MN有最大值，
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合時(shí)，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CF，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴OG=$\frac{12}{5}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{10}$，
∴MG=$\sqrt{O{M}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{6}{5}$，
∴MN=2MG=$\frac{12}{5}$，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了垂線段最短，垂徑定理，勾股定理，過O作OG垂于E，得出C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OE最小是解題的關(guān)鍵．