【題目】已知在平面直角坐標系xOy中,O為坐標原點,線段AB的兩個端點A(0,2),B(1,0)分別在y軸和x軸的正半軸上,點C為線段AB的中點,現將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點D.
(1)如圖1,若該拋物線經過原點O,且a=﹣ .
①求點D的坐標及該拋物線的解析式;
②連結CD,問:在拋物線上是否存在點P,使得∠POB與∠BCD互余?若存在,請求出所有滿足條件的點P的坐標,若不存在,請說明理由;
(2)如圖2,若該拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過點E(1,1),點Q在拋物線上,且滿足∠QOB與∠BCD互余.若符合條件的Q點的個數是3個,請直接寫出a的值.
【答案】
(1)解:①過點D作DF⊥x軸于點F,如圖1,
∵∠DBF+∠ABO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DBF=∠BAO,
又∵∠AOB=∠BFD=90°,AB=BD,
∴△AOB≌△BFD(AAS)
∴DF=BO=1,BF=AO=2,
∴D的坐標是(3,1),
根據題意,得a=﹣ ,c=0,且a×32+b×3+c=1,
∴b= ,
∴該拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x;
②∵點A(0,2),B(1,0),點C為線段AB的中點,
∴C( ,1),
∵C、D兩點的縱坐標都為1,
∴CD∥x軸,
∴∠BCD=∠ABO,
∴∠BAO與∠BCD互余,
要使得∠POB與∠BCD互余,則必須∠POB=∠BAO,
設P的坐標為(x,﹣ x2+ x),
(Ⅰ)當P在x軸的上方時,過P作PG⊥x軸于點G,如圖2,
則tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,
∴ = ,解得x1=0(舍去),x2= ,
∴﹣ x2+ x= ,
∴P點的坐標為( , );
(Ⅱ)當P在x軸的下方時,過P作PG⊥x軸于點G,如圖3
則tan∠POB=tan∠BAO,即 = ,
∴ = ,解得x1=0(舍去),x2= ,
∴﹣ x2+ x=﹣ ,
∴P點的坐標為( ,﹣ );
綜上,在拋物線上是否存在點P( , )或( ,﹣ ),使得∠POB與∠BCD互余.
(2)解:如圖3,
∵D(3,1),E(1,1),
拋物線y=ax2+bx+c過點E、D,代入可得 ,解得 ,
所以y=ax2﹣4ax+3a+1.
分兩種情況:
①當拋物線y=ax2+bx+c開口向下時,若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數不可能是3個
②當拋物線y=ax2+bx+c開口向上時,
(i)當點Q在x軸的上方時,直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c必有兩個交點,符合條件的點Q必定有2個;
(ii)當點Q在x軸的下方時,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c只有1個交點,才能使符合條件的點Q共3個.
根據(2)可知,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ,此時直線OQ的解析式為y=﹣ x,要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有一個交點,所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有兩個相等的實數根,所以△=(﹣4a+ )2﹣4a(3a+1)=0,即4a2﹣8a+ =0,解得a= ,
∵拋物線的頂點在x軸下方
∴ <0,
∴a>1,
∴a= 舍去
綜上所述,a的值為a= .
【解析】(1)通過作過點D作垂線構造全等直角三角形,即△AOB≌△BFD,求出D坐標代入拋物線解析式即可;(2)要使∠POB與∠BCD互余,須∠POB=∠BAO,可分類討論:P在x軸的上方時或P在x軸的下方時;根據三角函數列出比例式,求出結果;(3)須分類討論,分兩種情況:當拋物線y=ax2+bx+c開口向下或當拋物線y=ax2+bx+c開口向上;數形結合,要使得∠QOB與∠BCD互余,則必須∠QOB=∠BAO,tan∠QOB=tan∠BAO= = ,求出a值,進行驗證.
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【題目】為加快5G網絡建設,某移動通信公司在山頂上建了一座5G信號通信塔AB,山高BE=100米(A,B,E在同一直線上),點C與點D分別在E的兩側(C,E,D在同一直線上),BE⊥CD,CD之間的距離1000米,點D處測得通信塔頂A的仰角是30°,點C處測得通信塔頂A的仰角是45°(如圖),則通信塔AB的高度約為( 。┟祝▍⒖紨祿,)
A.350B.250C.200D.150
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【題目】如圖,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 為邊 BC 上一動點,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC于 F,M 為 EF 中點,則 AM 的最小值為( )
A.1B.1.3C.1.2D.1.5
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【題目】近日天氣晴朗,某集團公司準備組織全體員工外出踏青.決定租用甲、乙、丙三種型號的巴士出行,甲型巴士每輛車的乘載量是乙型巴士的3倍,丙型巴士每輛可乘坐36人.現在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干輛,預計給該集團公司安排申型、丙型巴士共計8輛,其余員工安排乙型巴士,每輛巴士均滿載,這樣乘坐乙型巴士和丙型巴士的員工共296人.臨行前,突然有若干人因特殊原因請假,這樣一來剛好可以減少租用一輛乙型包士,且有一輛乙型巴士多出兩個空位,這樣甲、乙兩種型號巴士共計裝載178人;則該集團公司共有________名員工.
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【題目】如圖,在正方形中,對角線,相較于點,以為邊向外作等邊,連接,交于.
(1)如圖1,若,求的長
(2)如圖2,點為的延長線上一點,連接,連接且平分.求證:.
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【題目】如圖1,已知射線CB∥OA,∠C=∠OAB,
(1)求證:AB∥OC;
(2)如圖2,E、F在CB上,且滿足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF.
①當∠C=110°時,求∠EOB的度數.
②若平行移動AB,那么∠OBC :∠OFC的值是否隨之發(fā)生變化?若變化,找出變
化規(guī)律;若不變,求出這個比值.
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【題目】已知四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC、BD交于點O,E是BC的中點,以下說法錯誤的是( )
A. OE=DC B. OA=OC C. ∠BOE=∠OBA D. ∠OBE=∠OCE
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【題目】如圖,在△ABC,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點D,E,點F在AC的延長線上,且∠CBF= ∠CAB.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,sin∠CBF= ,求BC和BF的長.
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【題目】(1)(5mn2﹣4m2n)(﹣2mn); (2)(a+b)2﹣a(a+2b);
(3)(2a﹣1)(2a+1)﹣a(4a﹣3); (4)﹣14+(2020﹣π)0﹣(﹣)﹣2;
(5)利用乘法公式簡便計算:20202-2019×2021;
(6)先化簡,再求值:[(5m﹣3n)(m+4n)﹣5m(m+4n)]÷(-3n),其中m=2,n=﹣1.
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