Question

20．如圖，點(diǎn)A在∠B的邊BG上，AB=5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，點(diǎn)P是∠B的邊BH上任意一點(diǎn)，連接AP，以AP為直徑畫(huà)⊙O交BH于C點(diǎn)． 若BP=$\frac{25}{4}$，求證：BG與⊙O相切．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理得出∠ACP=90°，求出∠ACB=90°，求出AC=3，BC=4，計(jì)算求出$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{5}{4}$，根據(jù)相似三角形的判定得出△BCA∽△BAP，根據(jù)相似求出∠BAP=90°，根據(jù)切線的判定得出即可．

解答 證明：∵AP為⊙O的直徑，
∴∠ACP=90°，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，
∴AC=3，BC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵BP=$\frac{25}{4}$，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$=$\frac{5}{4}$，
∵∠B=∠B，
∴△BCA∽△BAP，
∴∠BCA=∠BAP，
∵∠BCA=90°，
∴∠BAP=90°，
∴PA⊥AB，
∵PA過(guò)圓心O，
∴BG與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出∠BAP=90°是圓的切線，注意：經(jīng)過(guò)半徑的外端，且垂直于半徑的直線是圓的切線．