Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，AC=20,點D與點A關于y軸對稱，點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與點A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）直接寫出BC的長是 ， 點D的坐標是；
（2）證明：△AEF與△DCE相似；
（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）12,（12,0）
（2）證明：∵點D與點A關于y軸對稱，
∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE，
∴∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE.
（3）解：當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：
①當CE=EF時，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE=CD=20，
∴OE=AE－OA=20－12=8，
∴E（8，0）.
②當EF=FC時，
如圖所示，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，
∴CE=2ME=EF，
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴CD=AC=20，
∵△AEF∽△DCE，
∴ =，
∴AE=，
∴OE=AE－OA=，
∴E（，0）.
③當CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，
即此時F點與A點重合，這與已知條件矛盾.
綜上所述，當△EFC為等腰三角形時，點E的坐標為（8，0）或（，0）.

【解析】解（1）∵四邊形ABCO為矩形，
∴AO=BC，AB=OC，
又∵AB=16，AC=20，
∴BC=AO=12，
∴A（-12，0），
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴D（12，0）.
所以答案是：12，（12，0）.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．