Question

【題目】閱讀理解：

（1）如圖（1），等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P到頂點(diǎn)A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB= ．
分析：由于PA，PB不在一個三角形中，為了解決本題我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌ ， 這樣，就可以利用全等三角形知識，將三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中從而求出∠APB的度數(shù)．
（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：已知如圖（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，求證：BE2+CF2=EF2 ．

Answer 1

【答案】
（1）150°；△ABP
（2）

解：把△ACF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG．連接EG．

則△ACF≌△ABG．

∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．

∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．

∴∠GAE=∠EAF=45°，

在△AEG和△AFE中，

∵

∴△AEG≌△AFE（SAS）．

∴EF=EG，

又∵∠GBE=90°，

∴BE2+BG2=EG2，

即BE2+CF2=EF2．則三角形是直角三角形．

【解析】解：（1）將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB=AC，AP=AP′，∠BAP=∠CAP′，
∴∠BAC=∠PAP′=60°，
∴△APP′是等邊三角形，
∴∠APP′=60°，
因為B P P′不一定在一條直線上
連接PC，
∴P′C=PB=4，PP′=PA=3，PC=5，
∴∠PP′C=90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB=∠AP′C=∠APP′+∠P′PC=60°+90°=150°，
∴∠BPA=150°；
故答案是：150°，△ABP；
【考點(diǎn)精析】利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．