Question

8．四邊形ABCD是正方形（提示：正方形四邊相等，四個(gè)角都是90°）
（1）如圖1，若點(diǎn)G是線(xiàn)段CD邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D重合），連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，求證：△ABF≌△DAE．
（2）如圖2，若點(diǎn)G是線(xiàn)段CD延長(zhǎng)線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，判斷線(xiàn)段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）若點(diǎn)G是直線(xiàn)BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AG，作BF⊥AG于點(diǎn)F，DE⊥AG于點(diǎn)E，探究線(xiàn)段EF與AF、BF的數(shù)量關(guān)系．（請(qǐng)畫(huà)圖、不用證明、直接寫(xiě)答案）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可，根據(jù)全等得出AE=BF，代入即可求出答案；
（3）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AD，∠DAB=90°，根據(jù)垂直定義得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根據(jù)AAS證出兩三角形全等即可，結(jié)合G點(diǎn)可能在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上以及在線(xiàn)段BC上和在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上分別得出答案．

解答 （1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAF}\\{∠AED=∠AFB}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；

（2）解：EF=AF+BF，
理由是：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°-90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAF}\\{∠AED=∠AFB}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF；

（3）解：如圖3所示：
∵BF⊥AG，DE⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴FB=AE．
∵AE=EF+AF，
∴EF=BF-AF．
如圖4，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE=BF．
∵AE+EF=AF，
∴EF=AF-BF；
如圖5，∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠BFA=∠DEA=90°．
∵∠BAF+∠ABF=90°，∠BAF+∠EAD=90°，
∴∠EAD=∠FBA．
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠DEA}\\{∠EAD=∠FBA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴AE=BF．
∵AE+AF=EF，
∴EF=AF+BF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合、全等三角形的性質(zhì)和判定以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)，利用G點(diǎn)位置的不同分類(lèi)討論得出答案是解題關(guān)鍵．