Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，沿C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)一周，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t＝_____時(shí)，點(diǎn)P與△ABC的某兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形．

Answer 1

【答案】4或或或或3或．

【解析】

分點(diǎn)P在邊AC和邊AB上討論: 當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝＝＝5，

當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上時(shí)，當(dāng)PA＝PB時(shí)，如圖1，

作AB邊上的高PE，則AE＝BE＝，

易證得△APE∽△ABC，

∴，即，

∴AP＝，

此時(shí)（4﹣）÷2＝（秒）；

當(dāng)CP＝CB時(shí)，

∵CP＝3cm，此時(shí)t＝3÷2＝（秒）；

當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，

當(dāng)AC＝AP，此時(shí)（4+4）÷2＝4（秒）；

當(dāng)AP＝PC時(shí)，如圖2，

∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線(xiàn)與AB的交點(diǎn)處，即在AB的中點(diǎn)，

則AP＝AB＝，此時(shí)（4+2.5）÷2＝（秒）

當(dāng)CP＝CB時(shí)，如圖3，

作AB邊上的高CD，

∵AC×BC＝AB×CD．

∴CD＝＝，

在Rt△CDP中，根據(jù)勾股定理得，DP＝＝1.8，

∴BP＝2DP＝3.6，

∴AP＝1.4，

∴t＝（AC+AP）÷2＝（4+1.4）÷2＝（秒）

當(dāng)BC＝BP時(shí)，

∴BP＝3cm，CA+AP＝4+5﹣3＝6（cm），

∴t＝6÷2＝3（秒）；

當(dāng)PB＝PC，

∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線(xiàn)與AB的交點(diǎn)處，即在AB的中點(diǎn)，

此時(shí)CA+AP＝4+2.5＝6.5（cm），

t＝6.5÷2＝（秒）；

綜上可知，當(dāng)4或或或或3或時(shí)點(diǎn)P與△ABC的某兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，故答案為4或或或或3或．