Question

9．如圖，已知在Rt△ABC中，AB=AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在△ABC內(nèi)作第一個內(nèi)接正方形DEFG；然后取GF的中點P，連接PD、PE，在△PDE內(nèi)作第二個內(nèi)接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q，在△QHI內(nèi)作第三個內(nèi)接正方形…依次進行下去，則第2016個內(nèi)接正方形的邊長為（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 先求出第一個、第二個、第三個正方形的邊長，探究規(guī)律后即可解決問題．

解答 解：∵AB=AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，BC=$\sqrt{2}$AC=3
∵四邊形GDEF是正方形，
∴∠GDE=∠FED=90°，GF=GD=DE=EF，
∴∠BDG=∠CEF=90°，
∴∠B=∠BGD=45°，∠C=∠EFC=45°，
∴BD=DG=DE=EC=EF，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC=1，
∴第一個正方形邊長為1，設(shè)第二個正方形邊長為x，
∵∠JDH=∠DPG，∠DGP=∠DHJ=90°，
∴△DGP∽△JHD，
∴$\frac{DG}{JH}$=$\frac{GP}{DH}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{DH}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$x，同理，IE=$\frac{1}{2}$x，
∵DE=DH+HI+IE，
∴1=2x，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴第二個正方形邊長為$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）¹，同理第三個正方形邊長為$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{2}$）²，…，
∴第2016個內(nèi)接正方形的邊長為（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵，
故答案為（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)．相似三角形的判定和性質(zhì)、規(guī)律題型等知識，解題的關(guān)鍵是學會從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考�？碱}型．