Question

4．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將拋物線解析式變形成頂點(diǎn)式即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），由相似三角形的判定及性質(zhì)可得出點(diǎn)F′的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B、F′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線BF的解析式，聯(lián)立直線BF和拋物線的解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性結(jié)合正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)P、Q的位置，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），由正方形的性質(zhì)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2-n，n）．由點(diǎn)M在拋物線圖象上，即可得出關(guān)于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點(diǎn)B（6，0）、C（0，6）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-18+6b+c}\\{6=c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，8）．
（2）設(shè)線段BF與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)F′，設(shè)點(diǎn)F′的坐標(biāo)為（0，m），如圖1所示．
∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，
∴△F′BO∽△BDE，
∴$\frac{OF′}{OB}=\frac{BE}{DE}$．
∵點(diǎn)B（6，0），點(diǎn)D（2，8），
∴點(diǎn)E（2，0），BE=6-2=4，DE=8-0=8，OB=6，
∴OF′=$\frac{BE}{DE}$•OB=3，
∴點(diǎn)F′（0，3）或（0，-3）．
設(shè)直線BF的解析式為y=kx±3，
則有0=6k+3或0=6k-3，
解得：k=-$\frac{1}{2}$或k=$\frac{1}{2}$，
∴直線BF的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3或y=$\frac{1}{2}$x-3．
聯(lián)立直線BF與拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-3}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}\end{array}\right.$②，
解方程組①得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，$\frac{7}{2}$）；
解方程組②得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{9}{2}$）．
綜上可知：點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，$\frac{7}{2}$）或（-3，-$\frac{9}{2}$）．
（3）設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，如圖2所示．
∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2n），則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2-n，n）．
∵點(diǎn)M在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的圖象上，
∴n=-$\frac{1}{2}（2-n）^{2}$+2（2-n）+6，即n²+2n-16=0，
解得：n₁=$\sqrt{17}$-1，n₂=-$\sqrt{17}$-1．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{17}$-2）或（2，-2$\sqrt{17}$-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）求出直線BF的解析式；（3）得出關(guān)于n的一元二次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．