Question

1．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，連接BD，將△ABD繞B點作順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△MNP（N與B重合），且點P剛好落在BC的延長上，MP與CD相交于點E．將△MNP以每秒2cm的速度沿直線BC向右平移，如圖2，當點N移動到C點時停止移動．
（1）求點M運動到BD所用的時間；
（2）設(shè)△BCD與△MNP重疊部分的面積為y，移動的時間為t，請你直接寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的平移過程中，是否存在這樣的時間t，使得△MNA成為等腰三角形？若存在，請你直接寫出對應(yīng)的t的值；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，過點M作MH⊥BC，垂直為H，作MK∥BC，交BD于點T，交CD于K，過T作TG⊥BC垂直為G．則四邊形MHGT是矩形，求出MT的長，然后計算出點M運動到BD所用的時間．
（2）分三種情形討論，①當0≤t≤1.4時，②當1.4＜t≤2.2時，③當2.2＜t≤4時分別列出函數(shù)表達式；
（3）分類討論，①當AN=NM時；②當AM=MN時；③當AN=AM時，根據(jù)勾股定理列方程即可．

解答 解：（1）如圖1中，過點M作MH⊥BC，垂直為H，作MK∥BC，交BD于點T，交CD于K，過T作TG⊥BC垂直為G．則四邊形MHGT是矩形．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，∵AB=6，AD=8，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
由旋轉(zhuǎn)知∠MNP=∠ABD，MN=AB=6，NP=BD=10，
又∵∠MNP+∠NMH=90°，∠ABD+∠DNP=90°，
∴∠NMH=∠DNP．sin∠DNC=$\frac{DC}{DN}$=$\frac{3}{5}$=sin∠NMH=$\frac{NH}{BM}$，
∴NH=3.6，cos∠DNC=cos∠NMH=$\frac{NC}{BD}=\frac{MH}{NM}=\frac{8}{10}$，
∴MH=4.8=TG．
∵tan∠DNC=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{TG}{NG}$，
∴NG=6.4，CG=TK=1.6，
∴HG=NG-NH=6.4-3.6=2.8=MT．
∴t=MT÷2=2.8÷2=1.4．
（2）①如圖2中，當0≤t≤1.4時，重疊部分的面積就是五邊形TNCGK面積，作TH⊥BC于H，KR⊥CD于R．

則BN=CP=2t，TH=CG=$\frac{3}{2}$t，DG=6-$\frac{3}{2}$t，KR=4-t，
∴y=S_△BDC-S_△BNT-S_△KDG=24-$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{3}{2}$t）•（4-t）=-$\frac{9}{4}$t²+6t+12．
②如圖3中，當1.4＜t≤2.2時，重疊部分的面積就是四邊形MNCR面積，

y=S_△MNR-S_△PRC=24-$\frac{1}{2}$•2t•$\frac{3}{2}$t=-$\frac{3}{4}$t²+24．
③如圖4中，當2.2＜t≤4時，重疊部分的面積就是△RNC面積，

y=$\frac{1}{2}$•（8-2t）•$\frac{4}{3}$（8-2t）=$\frac{8}{3}$t²-$\frac{64}{3}$t+$\frac{128}{3}$．
綜上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{4}{t}^{2}+6t+12}&{（0≤t≤1.4）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+24}&{（1.4＜t≤2.2）}\\{\frac{8}{3}{t}^{2}-\frac{64}{3}t+\frac{128}{3}}&{（2.2＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）（3）①如圖5中，當AN=NM時，x=0秒；

②如圖6中，


當AM=MN時，MK=BH=BN+NH=2x+$\frac{18}{5}$，MH=BK=$\frac{24}{5}$，
∵AK²+MK²=36，
∴（6-$\frac{24}{5}$）²+（2x+$\frac{18}{5}$）²=36，
解得：x=$\frac{6\sqrt{6}-9}{5}$秒，（x=$\frac{-6\sqrt{6}-9}{5}$舍去）；
③如圖6，當AN=AM時，MK=BH=BN+NH=2x+$\frac{18}{5}$，MH=KB=$\frac{24}{5}$，
∵AB²+BN²=AK²+MK²
∴36+4x²=（6-$\frac{24}{5}$）²+（2x+$\frac{18}{5}$）²
解得：x=$\frac{3}{2}$秒．
綜上所述，使得△AMN成為等腰三角形的x的值有：0秒或$\frac{3}{2}$秒或$\frac{6\sqrt{6}-9}{5}$秒．

點評 本題主要考查了圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是分三種情形正確畫出圖形，學會分割法求多邊形面積，學會用方程的思想解決問題，注意考慮問題要全面，屬于中考壓軸題．