Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知的兩條直角邊、分別在軸和軸上， 、的長分別是方程的兩根，動點從點開始在線段上以每秒個單位長度的速度向點運動；同時，動點從點開始在線段上以每秒個單位長度的速度向點運動，設(shè)點、運動的時間為秒．

（）求、兩點的坐標．

（）當(dāng)為何值時為直角三角形，此時點的坐標為？

（）當(dāng)時，在坐標平面內(nèi)，是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（）， ；（）， ；（）有， ； ； ．

【解析】試題分析：

（1）解方程可求得OA、AB的長，再由勾股定理可求得OB的長，從而可得點A、B的坐標；

（2）如圖1，根據(jù)題意分析可知，存在兩種可能性：①∠APQ=90°或②∠AQP=90°由這兩種情況分別可證得：△APQ∽△AOB和△AQP∽△AOB，由此可列出比例式求出對應(yīng)的t的值，進而可求得對應(yīng)的點Q的坐標；

（3）如圖2，由t=2，可求得此時AP和BQ的長，結(jié)合題意分析存在三種可能情況，結(jié)合（1）、（2）中求得的數(shù)據(jù)和平行四邊形的判定分析就可求得點M的坐標；

試題解析：

（）方程： 可化為： ，解得： ， ，

∴OA=3，AB=6，

∴OB=，

∴， ；

（）如圖1，由（1）可知，在Rt△AOB中，OA=3，AB=6，∠AOB=90°，

∴AO=AB，

∴∠ABO=30°，∠BAO=60°.

當(dāng) ①，則，由，則此時BQ=3，作Q1N1⊥OB與N1，由∠ABO=30°可得Q1N1=，由勾股定理可得BN1=，

∴ON1=OB-BN1=，

∴點Q1的坐標為；

當(dāng)②，則，由，同理可得：點Q2的坐標為；

綜合①、②可得： ， ；

（）如圖2，當(dāng)t=2時，AP=2，BQ=4，

①過點Q作QM1⊥OB與點M1，由∠ABO=30°，可得QM1=2=AP，

又∵QM1∥AP，

∴此時四邊形APM1Q是平行四邊形.

在Rt△QM1B中，由勾股定理可得BM1=，

∴OM1=OB-BM1=，

∴點M1的坐標為；

②延長M1Q至點M2，使QM2=QM1=2，連接AM2，則由①可知此時，QM2∥AP且QM2=AP，

∴四邊形ABQM2是平行四邊形，此時點M2的坐標為 ；

③ 由t=2時，AP=2，BQ=4，可得AQ=AB-BQ=2=AP，

又∵∠BAO=60°，

∴△APQ是等邊三角形，則將△APQ沿AP翻折得到△APM3，易證此時四邊形AQPM3是平行四邊形，而點M3與點Q關(guān)于y軸對稱，

∵Q的坐標為，

∴點M3的坐標為；

綜上所述：存在點M，使以點A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，其坐標分別為：M1、M2、M3.