Question

2．如圖，點D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．（1）判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E，若AC=2，⊙O的半徑是3，求∠BEC的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明OD⊥CE，所以需證明∠CDA+∠ODA=90°；
（2）根據(jù)已知條件在Rt△CDO中，由勾股定理求得：CD=4，又CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，由切線長定理得DE=EB，設(shè)DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE²=BE²+BC²，則  （a+x）²=x²+（5+3）²，解得：x=6，即  BE=6，然后由正切函數(shù)的定義解得∠BEC的正切值．

解答 解：（1）直線CD與⊙O的位置關(guān)系是相切．
理由：
連接OD，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
 即：OD⊥CE，
∴直線CD 是⊙O的切線．
即：直線CD 與⊙O的位置關(guān)系是相切．
（2）∵AC=2，⊙O的半徑是3，
∴OC=2=3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
設(shè)DE=EB=x，
在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE²=BE²+BC²，
則  （a+x）²=x²+（5+3）²，
解得：x=6，
即  BE=6，
∴tan∠BEC=$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，
即：tan∠BEC=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是①掌握直線與圓的三種位置關(guān)系及其判定方法，②掌握圓的切線的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用、正切函數(shù)的定義．