Question

【題目】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常用小石子擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題．

如圖1，由于這些三角形是由1個(gè)，3個(gè)，6個(gè)，10個(gè)，… 小石子擺成的，所以他們稱1，3，6，10，…，這些數(shù)為三邊形數(shù)；類似的，如圖2，他們稱1，4，9，16，…，這樣的數(shù)為四邊形數(shù)．

（1）既是三邊形數(shù)，又是四邊形數(shù)，且大于1的最小正整數(shù)是 ；

（2）如果記第n個(gè)k邊形小石子的個(gè)數(shù)為（k≥3），那么易得，，．

① ； ；

② ； ；

③ 如果，那么 ；

（3）如果進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，，…，那么 ．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）① 6，81；②，；③ 10；（3）1 000．

【解析】

（1）圖1中1、3、6、10，…，第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+n，即；圖2中1、4、9、16，…，第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是n2，求出能同時(shí)滿足兩個(gè)式子的數(shù)，即可得出結(jié)果；

（2）由圖1中1、3、6、10，…，第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+n，即；圖2中1、4、9、16，…，第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是n2，即可得出結(jié)果；

（3）由M（n，3），M（n，4），M（n，5），M（n，6），可推斷M（n，k）（k≥3），將M（10，24）代入即可得出結(jié)果．

（1）∵四邊形數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是為n2，

∴除1外，分別為4，9，16，25，36，49，64，…．

∵圖1中1、3、6、10，…，第n個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1+2+3+…+n，即三邊形數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是為，

∵4無(wú)正整數(shù)解，

∴4不是三邊形數(shù)．

∵9無(wú)正整數(shù)解，

∴9不是三邊形數(shù)．

∵16無(wú)正整數(shù)解，

∴16不是三邊形數(shù)．

∵25無(wú)正整數(shù)解，

∴25不是三邊形數(shù)．

∵36，解得：n=8，所以36是三邊形數(shù)，

∴除1外，最小的既是三邊形數(shù)又是四邊形數(shù)的是36．

故答案為：36；

（2）由（1）知：M（n，3），M（n，4）=n2；

故：①M（3，3）==6，M（9，4）=92=81；

②M（n，3），M（n，4）=n2；

③M（n，3）=55，

∴n2+n-110=0，

∴（n-10）（n+11）=0，

解得：n=10或n=-11（舍去），

∴n=10．

（3）∵M（n，3），

M（n，4）=n2，

M（n，5）n2n，

M（n，6）=2n2﹣n，

∴由此變化規(guī)律可推斷M（n，k）（k≥3），

∴M（10，24）1000．