Question

【題目】已知y關(guān)于x的二次函數(shù)：y=（m﹣n）x2+nx+t﹣n．

（1）當(dāng)m=t=0時(shí)，判斷該函數(shù)圖象和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若n=t=3m，當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)有最值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m和t，使該函數(shù)圖象和x軸有交點(diǎn)，且n的最大值和最小值分別為8和4？若存在，求m和t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)x=函數(shù)有最大值為 (3) 不存在實(shí)數(shù)m和t，使該函數(shù)圖象和x軸有交點(diǎn)

【解析】試題分析：（1）利用判別式求交點(diǎn)個(gè)數(shù).(2)化簡(jiǎn)二次函數(shù)，配方，求最值.(3)配方求最值，最值用n,m,t表示，假設(shè)且n的最大值和最小值分別為8和4，代入求m,t,無(wú)解.

試題解析：

（1）當(dāng)m=t=0時(shí)，y=﹣nx2+nx﹣n，

△=n2﹣4×(﹣)n×（﹣n）=﹣n2，

當(dāng)n=0時(shí)，△=0，該函數(shù)圖象與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)n≠0時(shí)，△＜0，該函數(shù)圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；

（2）若n=t=3m，拋物線的解析式為：y=（m﹣3m）x2+3mx=﹣mx2+3mx=﹣m（x﹣）2+，

當(dāng)﹣m＞0，即m＜0時(shí)，

所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值為，

當(dāng)﹣m＜0，即m＞0時(shí)，

所以當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最大值為；

（3）y=（m﹣n）x2+nx+t﹣n，

△=n2﹣4×（m﹣n）（t﹣n）=﹣n2+2（m+t）n﹣2mt，

設(shè)w=﹣n2+2（m+t）n﹣2mt，

∵該函數(shù)圖象和x軸有交點(diǎn)，

∴w≥0，

∵n的最大值和最小值分別為8和4，

∴新二次函數(shù)w與n軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（4，0）和（8，0），

則w=﹣（n﹣4）（n﹣8）=﹣n2+12n﹣32，

∴,

,

此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，

∴不存在實(shí)數(shù)m和t，使該函數(shù)圖象和x軸有交點(diǎn)．