Question

1．如圖，已知⊙O的半徑為2，從⊙O外的點C作⊙O的切線CA和CB，切點分別為點A和點D，若∠ACB=90°，BC=2$\sqrt{3}$，則圖中陰影部分的面積是3$\sqrt{3}$$-\frac{4}{3}π$．

Answer 1

分析 連接OD、OE，證明四邊形ACDO為正方形，得AC=OA=2，再求出∠ABC=30°，則∠OAB=∠ABC=30°，
得出扇形OAE的圓心角為120°，作△AOE的高OF，求出OF和AE的長，利用面積公式就可以求出陰影部分的面積．

解答 解：連接OD、OE，
∵AC、BC是⊙O的切線，
∴OA⊥AC，OD⊥BC，AC=CD，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形ACDO為正方形，
在Rt△ACB中，
∵AC=OA=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴∠ABC=30°，
∵AO∥BC，
∴∠OAB=∠ABC=30°，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=30°，
∴∠AOE=120°，
過O作OF⊥AB于F，
∴OF=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴AF=$\sqrt{3}$，
∴AE=2$\sqrt{3}$，
∴S_弓形=S_扇形OAE-S_△AOE=$\frac{120×π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_△ACB-S_弓形=$\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{3}$-（$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$；
故答案為：3$\sqrt{3}$$-\frac{4}{3}π$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和切線長定理，要明確以下幾點：①若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，②扇形面積計算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則 S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$或S_扇形=$\frac{1}{2}$lR（其中l(wèi)為扇形的弧長），③勾股定理；對于求圖形陰影部分的面積，要仔細觀察圖形，將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．