【題目】(1)如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),過D點(diǎn)畫直線EF與AC相交于E,與AB的延長(zhǎng)線相交于F,使BF=CE.
①已知△CDE的面積為1,AE=kCE,用含k的代數(shù)式表示△ABD的面積為 ;
②求證:△AEF是等腰三角形;
(2)如圖2,在△ABC中,若∠1=2∠2,G是△ABC外一點(diǎn),使∠3=∠1,AH∥BG交CG于H,且∠4=∠BCG﹣∠2,設(shè)∠G=x,∠BAC=y,試探究x與y之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖3,在(1)、(2)的條件下,△AFD是銳角三角形,當(dāng)∠G=100°,AD=a時(shí),在AD上找一點(diǎn)P,AF上找一點(diǎn)Q,FD上找一點(diǎn)M,使△PQM的周長(zhǎng)最小,試用含a、k的代數(shù)式表示△PQM周長(zhǎng)的最小值 .(只需直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)①k+1;②見解析;(2)y=x+45°,理由見解析;(3)
【解析】
(1)①先根據(jù)AE與CE之比求出△ADE的面積,進(jìn)而求出ADC的面積,而D中BC中點(diǎn),所以△ABD面積與△ADC面積相等;②延長(zhǎng)BF至R,使FR=BF,連接RC,注意到D是BC中點(diǎn),過B過B點(diǎn)作BG∥AC交EF于G.得,再利用等腰三角形性質(zhì)和判定即可解答;
(2)設(shè)∠2=α.則∠3=∠1=2∠2=2α,根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)可得∠4=α,再結(jié)合三角形內(nèi)角和等于180°聯(lián)立方程即可解答;
(3)分別作P點(diǎn)關(guān)于FA、FD的對(duì)稱點(diǎn)P'、P',則PQ+QM+PM=P'Q+QM+MP“≥P'P'=FP,當(dāng)FP垂直AD時(shí)取得最小值,即最小值就是AD邊上的高,而AD已知,故只需求出△ADF的面積即可,根據(jù)AE=kEC,AE=AF,CE=BF,可以將△ADF的面積用k表示出來,從而問題得解.
解:(1)
①∵AE=kCE,
∴S△DAE=kS△DEC,
∵S△DEC=1,
∴S△DAE=k,
∴S△ADC=S△DAE+S△DEC=k+1,
∵D為BC中點(diǎn),
∴S△ABD=S△ADC=k+1.
②如圖1,過B點(diǎn)作BG∥AC交EF于G.
∴,
在△BGD和△CED中,
,
∴(ASA),
∴BG=CE,
又∵BF=CE,
∴BF=BG,
∴,
∴
∴AF=AE,即△AEF是等腰三角形.
(2)如圖2,設(shè)AH與BC交與點(diǎn)N,∠2=α.
則∠3=∠1=2∠2=2α,
∵AH∥BG,
∴∠CNH=∠ANB=∠3=2α,
∵∠CNH=∠2+∠4,
∴2α=α+∠4,
∴∠4=α,
∵∠4=∠BCG﹣∠2,
∴∠BCG=∠2+∠4=2α,
在△BGC中, ,即:,
在△ABC中, ,即:,
聯(lián)立消去得:y=x+45°.
(3)如圖3,作P點(diǎn)關(guān)于FA、FD的對(duì)稱點(diǎn)P'、P',
連接P'Q、P'F、PF、P'M、P'F、P'P',
則FP'=FP=FP',PQ=P'Q,PM=P'M,∠P'FQ=∠PFQ,∠P'FM=∠PFM,
∴∠P'FP'=2∠AFD,
∵∠G=100°,
∴∠BAC=∠G+45°=120°,
∵AE=AF,
∴∠AFD=30°,
∴∠P'FP'=2∠AFD=60°,
∴△FP'P'是等邊三角形,
∴P'P'=FP'=FP,
∴PQ+QM+PM=P'Q+QM+MP'≥P'P'=FP,
當(dāng)且僅當(dāng)P'、Q、M、P'四點(diǎn)共線,且FP⊥AD時(shí),△PQM的周長(zhǎng)取得最小值.
,,,
,
,
當(dāng)時(shí),,
的周長(zhǎng)最小值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在矩形ABCD中,AB=10,BC=12,E為DC的中點(diǎn),連接BE,作AF⊥BE,垂足為F.
(1)求證:△BEC∽△ABF;
(2)求AF的長(zhǎng).
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【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上,∠B=∠CAD=30°.
(1)AD是⊙O的切線嗎?為什么?
(2)若OD⊥AB,BC=5,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們新定義一種三角形:兩邊平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形例如:某三角形三邊長(zhǎng)分別是5,6和8,因?yàn)?/span>,所以這個(gè)三角形是常態(tài)三角形.
(1)若△ABC三邊長(zhǎng)分別是2,和4,則此三角形 常態(tài)三角形(填“是”或“不是”);
(2)如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),連接CD,CD=AB, 若△ACD是常態(tài)三角形,求△ABC的面積;,
(3)若Rt△ABC是常態(tài)△,斜邊是,則此三角形的兩直角邊的和= .
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P是邊BC上的中點(diǎn),PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別為點(diǎn)D、E.
(1)求證:PD=PE;
(2)若AB=6cm,∠BAC=30°,請(qǐng)直接寫出PD+PE= cm.
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【題目】如圖,在△BAC中,∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DE∥BC交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BD=5,CE=4,則線段DE的長(zhǎng)為( )
A. 9 B. 6 C. 5 D. 4
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【題目】如圖,在矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式;
②當(dāng)S最大時(shí),在拋物線y=﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸l上,若存在點(diǎn)F,使△DFQ為直角三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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【題目】如圖,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在BC上,且AD=BE,BD=AC.
(1)求證:CD=ED
(2)直接寫出圖中所有是∠ACD的2倍的角.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn),OP=OC,下列結(jié)論:①AC平分∠PAD;②∠APO=∠DCO;③△OPC是等邊三角形;④AC=AO+AP;其中正確的序號(hào)是( 。
A.①③④B.②③C.①②④D.①③
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