Question

已知：Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它們兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時（如圖1）易證CF+CE=AC；若當∠EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明，若不成立，CF、CE、AC又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接CD，如圖2，易證∠B=∠ACD=45°，AD=BD=CD，∠CDE=∠BDF即可證明△CDE≌△BDF，可得CE=BF，即可解題；
（2）連接CD，如圖3，易證∠B=∠ACD=45°，可得∠ECD=∠DBF=135°，可以求證AD=BD=CD，∠CDE=∠BDF，即可證明△CDE≌△BDF，可得CE=BF，即可解題．

解答：證明：圖2中該結(jié)論成立，圖3中該結(jié)論不成立，新結(jié)論為：CF=AC+CE；
理由：連接CD，

（1）如圖2，∵等腰直角△ABC中，D是AB中點，
∴AD=BD=CD，∠B=∠ACD=45°，
∵∠BDF+∠CDF=90°，∠CDE+∠CDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，

∠CDE=∠BDF CD=BD ∠ACD=∠B

，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵BC=CF+BF，AC=BC，
∴AC=CF+CE；
（2）連接CD，如圖3，

∵等腰直角△ABC中，D是AB中點，
∴AD=BD=CD，∠B=∠ACD=45°，
∴∠ECD=∠DBF=135°，
∵∠BDF+∠BDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，

∠CDE=∠BDF CD=BD ∠ECD=∠DBF

，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴CE=BF，
∵CF=BC+BF，AC=BC，
∴CF=AC+CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△CDE≌△BDF是解題的關鍵．