Question

7．如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=120°，點(diǎn)D在AB邊上運(yùn)動(dòng)（D不與A、B重合），連結(jié)CD．作∠CDE=30°，DE交AC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)DE∥BC時(shí)，△ACD的形狀按角分類是直角三角形；
（2）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ECD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出∠AED的度數(shù)；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC得到∠BCD=∠CDE=30°，再由∠ACB=120°，得到∠ACD=120°-30°=90°，則△ACD是直角三角形．
（2）分類討論：當(dāng)∠CDE=∠ECD時(shí)，EC=DE；當(dāng)∠ECD=∠CED時(shí)，CD=DE；當(dāng)∠CED=∠CDE時(shí)，EC=CD；然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．

解答 解：（1）∵△ABC中，AC=BC，
∴∠A=∠B=$\frac{180°-∠ACB}{2}$=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=30°，
又∵∠CDE=30°，
∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=30°+30°=60°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-30°-60°=90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
①當(dāng)∠CDE=∠ECD時(shí)，EC=DE，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，
∴∠AED=60°，
②當(dāng)∠ECD=∠CED時(shí)，CD=DE，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=$\frac{180°-∠CDE}{2}$=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠AED=180°-∠CED=105°，
③當(dāng)∠CED=∠CDE時(shí)，EC=CD，
∠ACD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，
∵∠ACB=120°，
∴此時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．
綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時(shí)∠AED的度數(shù)為60°或105

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°．也考查了分類討論思想的運(yùn)用以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．