Question

1．如圖1，△ABC和△A′B′C′是兩個全等的等腰直角三角形，且∠C=∠C′=90°，$AC=BC=2\sqrt{2}$，其中D、E分別為△ABC中AC，BC的中點，現將兩三角形如圖所示放置，A點與B′重合，且A，A′，B，B′在同一條直線上，現將△A′B′C′沿射線AB方向向右勻速運動，速度為1cm/s，直到E點落在B′C′上停止運動．
（1）試寫出在運動過程中△A′B′C′與四邊形DABE重疊部分的面積S與時間t的函數關系式；
（2）如圖2，若O為△ABC內角平分線的交點，在（1）的運動中當△A′B′C′平移到C′與C重合時，讓△ABC保持不動將△A′B′C′繞點O順時針方向旋轉，在旋轉過程中，直線A′B′與直線AC相交于點K，則是否存在這樣的點K使得△ABK為等腰三角形？若存在，試求出△ABK的面積；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，在（2）的前提下，當將△A′B′C′繞點O順時針方向旋轉45°時，如圖，試求出△ABC和△A′B′C′重疊部分的面積是多少？

Answer 1

分析 （1）分兩種情形①如圖1中，當0＜t≤2時，重疊部分是△AB′G．如圖2中，當2＜t≤4時，重疊部分是等腰梯形ADGB′．分別計算即可．
（2）存在．分兩種情形討論即可①如圖3中，當BA=BK時，△ABK是等腰直角三角形，②如圖4中，當AK=AB時，△ABK是等腰三角形．
（3）如圖5中，連接O、AO、CO，延長CO交AB于K．根據△ABC和△A′B′C′重疊部分的面積=S_△ABC-S_△AEI-S_△CFP-S_△GHB計算即可．

解答 解：（1）如圖1中，當0＜t≤2時，重疊部分是△AB′G．

S=$\frac{1}{2}$•AG•GB′=$\frac{1}{2}$•（$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²．
如圖2中，當2＜t≤4時，重疊部分是等腰梯形ADGB′．

S=$\frac{1}{2}$[t+（t-$\sqrt{2}$）•1=t-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（2）存在．①如圖3中，當BA=BK時，△ABK是等腰直角三角形，此時S=$\frac{1}{2}$×AB×BK=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

②如圖4中，當AK=AB時，△ABK是等腰三角形，S=$\frac{1}{2}$AK•BC=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．


（3）如圖5中，連接O、AO、CO，延長CO交AB于K．

∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC+AB）•OK，
∴OK=OM=KH=$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{4+4\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
∵當將△A′B′C′繞點O順時針方向旋轉45°時，
∴∠AIE=45°，
由題意EO平分∠CEI，
∴∠CEO=∠CAB=45°，
∴EO∥AB，
∴∠EAO=∠OAB=∠EOA，
∴EA=EO=CO，設AE=EO=CO=a，
則a+$\sqrt{2}$a=2$\sqrt{2}$，
∴a=4-2$\sqrt{2}$，
∴CM=6-4$\sqrt{2}$，BH=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
∴△ABC和△A′B′C′重疊部分的面積=S_△ABC-S_△AEI-S_△CFP-S_△GHB
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$•（4$\sqrt{2}$-4）×（2$\sqrt{2}$-2）-$\frac{1}{2}$•（12-8$\sqrt{2}$）（6-4$\sqrt{2}$）-$\frac{1}{2}$•（4-2$\sqrt{2}$）²
=64$\sqrt{2}$-88．

點評 本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會畫好圖形，學會分類討論，注意解題時不能漏解，屬于中考�？碱}型．