Question

14．已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0有兩個實數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若拋物線y=x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1與x軸交于A、B兩點，點A、點B到原點O的距離分別為OA、OB，且滿足OA+OB-4OA•OB+5=0，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由于關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個實數(shù)根，可知△≥0，據(jù)此進行計算即可；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件得出關(guān)于k的方程，解方程即可．

解答 （1）解：∵原方程有兩個實數(shù)根，
∴△=（k+1）²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）≥0
∴k²+2k+1-k²-4≥0，
解得：k≥$\frac{3}{2}$
（2）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)為A（x₁，0）、B（x₂，0）
   則x₁、x₂是方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的兩根
∵$k≥\frac{3}{2}$，
∴x₁+x₂=k+1＞0，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴OA+OB=|x₁|+|x₂|=x₁+x₂=k+1
   OA•OB=|x₁||x₂|=4x₁x₂-5
∴k+1=4（$\frac{1}{4}$k²+1）-5，
∴k²-k+2=0，
∴k₁=-1，k₂=2，
又∵k$≥\frac{3}{2}$，
∴k=2

點評 本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點、一元二次方程的解法等知識；由根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件得出關(guān)于k的方程是解決問題（2）的關(guān)鍵．