Question

【題目】某八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線(xiàn)的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究.

（1）如圖1，△ABC的兩內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，求證：∠BEC=90°+∠A；

（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)與△ABC的外角∠ACM的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，請(qǐng)寫(xiě)出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）如圖3，△ABC的兩外角∠DBC與∠BCF的平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠E與∠A的數(shù)量關(guān)系，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）∠A=2∠E，證明見(jiàn)解析；（3）∠E=90°-∠A．

【解析】

（1）先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，再由三角形內(nèi)角和定理得出∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，利用等量代換即可得出結(jié)論；

（2）先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出∠EBC=∠ABC，∠ECM=∠ACM，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線(xiàn)的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．

（1）∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，

∴∠BEC+∠EBC+∠ECB=180°，

∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）

=180°-（ ∠ABC+∠ACB）=180°-（∠ABC+∠ACB）

=180°-（180°-∠A）

=180°-90°+∠A

=90°+∠A．

（2）∵BE是∠ABC的平分線(xiàn)，CE是∠ACM的平分線(xiàn)，

∴∠EBC=∠ABC，∠ECM=∠ACM．

∵∠ACM是△ABC的外角，∠ECM是△BCE的外角，

∴∠ACM=∠A+∠ABC，∠ECM=∠BEC+∠EBC，

∴∠ECM=∠ACM=（∠A+∠ABC）=∠BEC+∠EBC，即∠A+∠EBC=∠BEC+∠EBC，

∴∠A=2∠B∠A=2∠C，即∠A=2∠E；

（3）結(jié)論∠E=90°-∠A．

∵∠CBD與∠BCF是△ABC的外角，

∴∠CBD=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，

∵BE，CE分別是∠ABC與∠ACB的平分線(xiàn)，

∴∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC）．

∵∠EBC+∠ECB+∠E=180°，

∴∠E=180°-∠EBC-∠ECB，

=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC），

=180°-∠A-（∠A+∠ABC+∠ACB），

=180°-∠A-90°

=90°-∠A．