Question

【題目】如圖①，在半徑為6的扇形AOB中，，點C是弧AB上的一個動點（不與點、重合），、，垂足分別為D、E．

（1）①當時，線段 ；

②當的度數(shù)= °時，四邊形成為菱形；

（2）試說明：四邊形的四個頂點在同一個圓上；

（3）如圖②，過點作，垂足為，連接，隨著點的運動，在△中是否存在保持不變的角？如果存在，請指出這個角并求出它的度數(shù)；如果不存在，請說明理由；

（4）在（3）條件下，若點從點運動到點，則點的運動路徑長為 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②60；（2）證明見詳解；（3）存在，；（4）3

【解析】

（1）①根據(jù)勾股定理即可求得線段；②點C為中點，即=60°時，得△OBC，△OAC為等邊三角形，可得四邊形成為菱形；

（2）取中點，連接，，根據(jù)直角三角形斜邊上的直線等于斜邊的一半，證得，問題得證；

（3）先求得∠EOD=60°，根據(jù)（2）的結論，進行角的轉化，證明∠EOF=∠AOD，進而求得；

（4）根據(jù)不變，確定的運動軌跡是一條線段，當點C與A、B重合時，OF最小，當C位于的中點時，OF最長，分別求出OF長，計算可得．

解：（1）①∵OB=OC, ，

∴BE=，

∴在Rt△OBE中，OE=；

故答案為：；

②當∠BOC=60°時，∠AOC=60°，△OBC，△OAC為等邊三角形，

∴OA=AC=OC=BC=OB，

∴四邊形成為菱形；

故答案為：60；

（2）取中點，連接，

∵，∴，

∴

∴以為圓心，為半徑的圓過三點

即四邊形的四個頂點在同一個圓上

（3）答：不變，；

證明：∵OB=OC=OA, 、，

∴∠COE=∠BOE=,∠COD=∠AOD=，

∴∠EOD=∠COE+∠COD=，

∵四邊形的四個頂點在同一個圓上，

∴，

∴∠OED=∠OCD，

∵OF⊥DE，OD⊥OC，

∴∠OEF+∠EOF=90°， ∠OCD+∠COD=90°，

∴∠EOF=∠COD，

∵∠COD=∠AOD，

∴∠EOF=∠AOD，

∴；

（4）由（3）得，，∴點F的運動軌跡在∠AOB的平分線上，

如圖1，當點C與A重合時，F與E重合，∠OAB=30°，OF⊥AB，

∴OF=；

如圖2，當點C運動到中點時，∠AOD=∠DOC=30°，

OD=OA·cos∠AOD=，

OF= OD·cos∠FOD=；

∴；

當點C從點B運動到中點時，也運動了，

∴在（3）條件下，若點從點運動到點，則點的運動路徑長為3．