Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，點C坐標(biāo)為（－1，0），．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B、C，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．

（1）一次函數(shù)關(guān)系式為、反比例函數(shù)的關(guān)系式為____；

（2）當(dāng)x＜0時，的解集為_____；

（3）在軸上找一點M，使得AM+BM的值最小，并求M的坐標(biāo)和AM+BM的最小值．

（4）若x軸上有兩點E、F，點E在點F的左邊，且EF=1．當(dāng)四邊形ABEF周長最小時，請直接寫出點E的橫坐標(biāo)為_____

Answer 1

【答案】（1），；（2）-3＜x＜0；（3）點M的坐標(biāo)為（-2，0），AM+BM的最小值為3

【解析】

（1）在Rt△AOC中求出AC的長度，然后求出sin∠CAO的值，過點B作BP⊥x軸于點P，由∠BCP=∠CAO，可求出，繼而得出PC，從而求得點B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式；

（2）不等式的含義為：當(dāng)x<0時，求出一次函數(shù)值y=kx+b小于反比例函數(shù) 的x的取值范圍，數(shù)形結(jié)合即可得到答案；

（3）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，找到點A關(guān)于x的對稱點，連接 ，則與x軸的交點即為點M的位置，求出直線的解析式，可得出點M的坐標(biāo)，根據(jù)B，的坐標(biāo)可求出AM+BM的最小值．

（4）要求四邊形ABEF周長最小，AB，EF為定長，周長最小即BE+AF最小，為此可確定E點的位置：作A關(guān)于x軸的對稱點，作 ‖x軸且=EF=1，連接交x軸于F；當(dāng) ，F，三點共線時周長最小，所以由此求出F點坐標(biāo)即可求出E點坐標(biāo)．

（1）

如圖，過點B作BP⊥x軸于點P，

在Rt△AOC中, AC= ，

則sin∠CAO=，

∵∠BCA=90°，

∴∠BCP+∠ACO=90°，

又∵∠CAO+∠ACO=90°，

∴∠BCP=∠CAO，

所以sin∠BCP=sin∠CAO=，

∴BP=1，CF=，

∴點B的坐標(biāo)為（-3，1），將點B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式可得1=，

解得：k=-3，故反比例函數(shù)解析式是，

將點B，C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可得：

解得： ，故一次函數(shù)解析式為；

綜上答案為：，．

（2）結(jié)合點B的坐標(biāo)及圖象，可得當(dāng)x＜0時，kx+b-＜0的解集為：-3＜x＜0．

（3）作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接BA′與x軸的交點即為點M，

設(shè)直線BA'的解析式為y=ax+b，將點A'及點B的坐標(biāo)代入可得：，解得：．故直線BA'的解析式為y=-x-2，

令y=0，可得-x-2=0，解得：x=-2，故點M的坐標(biāo)為（-2，0），

AM+BM=BM+MA′=BA′==3，

綜上可得：點M的坐標(biāo)為（-2，0），AM+BM的最小值為3．

（4）

如圖，作A關(guān)于x軸的對稱點，作 ‖x軸且=EF=1，連接交x軸于F；

當(dāng) ，F，三點共線時周長最小，所以此時由B(-3，1)可知（-2，1），

又（0，-2），設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，代入求得k=，b=-2，

即y=x-2，

∴F點橫坐標(biāo)為，

又EF=1，

∴E點橫坐標(biāo)為-1=；

即此題答案為．