Question

20．如圖①是“東方之星”救援打撈現(xiàn)場圖，小明據(jù)此構造出一個如圖②所示的數(shù)學模型，已知：A、B、D三點在同一水平線上，CD⊥AD，∠A=30°，∠CBD=75°，AB=100m．
（1）求點B到AC的距離；
（2）求線段CD的長度．

Answer 1

分析 （1）過點B作BE⊥AC于點E，在直角三角形AEB中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AE的長，在直角三角形CEB中，利用銳角三角函數(shù)定義求出BE與CE的長；
（2）由AE+CE求出AC的長，即可求出CD的長．

解答 解：（1）過點B作BE⊥AC于點E，
在Rt△AEB中，AB=100m，sinA=$\frac{1}{2}$，BE=ABsinA=100×$\frac{1}{2}$=50m，cosA=$\frac{AE}{AB}$，
∴AE=100×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=50$\sqrt{3}$m，
在Rt△CEB中，∠ACB=∠CBD-∠A=75°-30°=45°，
∴BE=CE=30m，
（2）AC=AE+CE=（50+50$\sqrt{3}$）m，
在Rt△ADC中，sinA=$\frac{CD}{AC}$，
則CD=（50+50$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=（25+25$\sqrt{3}$）m．

點評 此題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵．