Question

【題目】如圖，在矩形中，，.

（1）如果、分別是、的中點(diǎn)，是對(duì)角線上的點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為________；

（2）如果、分別是、上的點(diǎn)，,是對(duì)角線上的點(diǎn).下列判斷正確的是_____．

①在上存在無(wú)數(shù)組,，使得四邊形是平行四邊形；

②在上存在無(wú)數(shù)組,，使得四邊形是矩形；

③在上存在無(wú)數(shù)組,，使得四邊形是菱形；

④當(dāng)時(shí)，存在、、，使得四邊形是正方形.

Answer 1

【答案】2或8 ①②③④

【解析】

（1）分兩種情況，點(diǎn)G在線段OA或OC上，首先利用矩形的性質(zhì)證明，得到，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出，然后利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得到AO的長(zhǎng)度，最后利用即可求解．

（2）①利用平行四邊形的判定方法判定即可；

②利用矩形的判定方法判定即可；

③利用菱形的判定方法判定即可；

④先假設(shè)存在這樣的正方形，然后利用正方形的性質(zhì)求出AE的長(zhǎng)度，看是否能找到滿(mǎn)足條件的E,F,H點(diǎn)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

（1）當(dāng)點(diǎn)G在線段OC上時(shí)，如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴ ，

．

∵點(diǎn)E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，

∴ ．

在和中，

，

．

，

．

，

，

，

；

當(dāng)點(diǎn)G在線段OA上時(shí)，如圖，

同理可求，

∴，

綜上所述，AG的長(zhǎng)度為2或8；

（2）只要滿(mǎn)足即可得出四邊形是平行四邊形，故①正確

理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴ ，

．

在和中，

，

，

∴四邊形是平行四邊形；

②在①的基礎(chǔ)上再保證即可證明四邊形是矩形，而滿(mǎn)足條件的有無(wú)數(shù)個(gè)，故②正確；

③在①的基礎(chǔ)上，需要再滿(mǎn)足，這時(shí)E,F點(diǎn)的位置就固定下來(lái)了，但是只要滿(mǎn)足即可得到四邊形是菱形，而滿(mǎn)足條件的有無(wú)數(shù)個(gè)，故③正確；

④假設(shè)當(dāng)時(shí)，存在、、，使得四邊形是正方形，則有，

，

，

．

，

，

．　

，

∴線段AD上存在點(diǎn)E，

∴只要同時(shí)滿(mǎn)足就能得到四邊形是正方形，故④正確．