Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．

在數(shù)學(xué)中，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)間，常添加輔助線(xiàn)構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，建立已知與未知的橋梁，從而把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的問(wèn)題．在著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)教波利亞所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書(shū)中有這樣一個(gè)例子：試作一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是各條中線(xiàn)長(zhǎng)的三分之一，解決這個(gè)問(wèn)題的步驟如下：

第一步，如圖1，己知的三條中線(xiàn)，和相交于點(diǎn)，則有．

下面是該結(jié)論的部分證明過(guò)程：

證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作的平分線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則．

又，

∴．

∴．

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴．

……

第二步，同理可以證明：．

第三步，如圖2，取BM的中點(diǎn)，連接.則的三邊長(zhǎng)分別是各條中線(xiàn)長(zhǎng)的三分之一．

任務(wù)：（1）請(qǐng)?jiān)谏厦娴谝徊街凶C明過(guò)程的基礎(chǔ)上完成對(duì)結(jié)論的證明；

（2）請(qǐng)完成第三步的結(jié)論的證明；

（3）請(qǐng)直接寫(xiě)出圖2中與的面積比：_______．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）證明即可得到BM=GC，再由即可解答；

（2）根據(jù)得出，再得出，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而得到即可；

（3）根據(jù)三角形中線(xiàn)將三角形的面積平分即可推出．

（1）解：∵，

∴.

∵是邊上的中線(xiàn)，

∴.

在和中，

∴（ASA），

∴BM=GC，

∴.

（2）證明：∵，

∴.

∵是的中點(diǎn)，

∴

∵，

∴

∵是的中點(diǎn)，

∴是的中位線(xiàn)，

則，又，

∴.

則的三邊長(zhǎng)分別是各條中線(xiàn)長(zhǎng)的三分之一．

（3）∵Q是BM 的中點(diǎn)，

∴S△BMD=2S△QMD，

∵AM=2MD

∴S△ABM=2S△BMD

∴S△ABD=3S△BMD=6S△QMD，

∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，

∴S△ABC=2S△ABD=12 S△QMD，

故，

故答案為：．