Question

12．如圖，∠ACB=90°，把Rt△ABC繞點A逆時針旋轉90°得到Rt△AB₁C₁，若BC=1，AB=2，則CB₁的長度是$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 過點B₁作B₁D⊥AC，垂足為D．由勾股定理先求得AC=$\sqrt{3}$，然后由旋轉的性質可證明四邊形ADB₁C₁是矩形，從而求得DC和DB₁的長，最后依據勾股定理可求得CB₁的長．

解答 解：過點B₁作B₁D⊥AC，垂足為D．

∵∠ACB=90°，BC=1，AB=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-C{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
由旋轉的性質可知：∠ACB=∠C₁=90°，AC₁=AC=$\sqrt{3}$，C₁B₁=CB=1．
∵∠C₁=∠ADB₁=DAC₁=90°，
∴四邊形ADB₁C₁是矩形．
∴DB₁=$\sqrt{3}$，AD=1．
∴DC=$\sqrt{3}-1$．
在Rt△DCB₁中，由勾股定理得：CB₁=$\sqrt{D{C}^{2}+D{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．
故答案為：$\sqrt{7-2\sqrt{3}}$．

點評 本題主要考查的是旋轉的性質、矩形的判定、勾股定理的應用，求得DC和DB₁的長度是解題的關鍵．