Question

14．如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)正好落在四條平行線上，并且從上到下每?jī)蓷l平行線間的距離都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的長(zhǎng)是$\frac{\sqrt{73}}{4}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的長(zhǎng)，利用勾股定理可以求AB的長(zhǎng)．

解答 解：過(guò)A作AE⊥BM于E，過(guò)C作CF⊥BM于F，則CF=1，AE=2，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△ABE∽△BCF，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{BE}{1}$，
∴BE=$\frac{3}{4}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{73}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、兩平行線的距離以及勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．