Question

3．如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點P，連接BC．
（1）求證：∠PCA=∠B；
（2）填空：已知∠P=40°，AB=12cm，點Q在$\widehat{ABC}$上，從點A開始以πcm/s的速度逆時針運動到點C停止，設(shè)運動時間為ts．
①當(dāng)t=3s時，以點A、Q、B、C為頂點的四邊形面積最大；
②當(dāng)t=$\frac{13}{3}$s時，四邊形AQBC是矩形．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OC．只要證明∠PCA+∠ACO=90°，∠B+∠OCA=90°，即可．
（2）①如圖2中，當(dāng)點Q在AB下方，$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$時，四邊形AQBC的面積最大，此時t=$\frac{\frac{1}{4}×12π}{π}$=3s．
②如圖3中，當(dāng)$\widehat{AC}$=$\widehat{BQ}$時，四邊形AQBC是矩形，連接CQ與AB交于點O．求出弧AQ的長即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，連接OC．

∵PC是切線，OC是半徑，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°
∴∠PCA+∠ACO=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠CAB=90°，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠B+∠OCA=90°，
∴∠PCA=∠B．

（2）①如圖2中，當(dāng)點Q在AB下方，$\widehat{AQ}$=$\widehat{BQ}$時，四邊形AQBC的面積最大，此時t=$\frac{\frac{1}{4}×12π}{π}$=3s．

故答案為3s．

②如圖3中，當(dāng)$\widehat{AC}$=$\widehat{BQ}$時，四邊形AQBC是矩形，連接CQ與AB交于點O．

∵∠P=40°，∠PCO=90°，
∴∠POC=50°，
∴∠AOQ=130°，
∴弧AQ的長=$\frac{130π•6}{180}$=$\frac{13π}{3}$，
∴t=$\frac{\frac{13π}{3}}{π}$=$\frac{13}{3}$s．
故答案為$\frac{13}{3}$s．

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、直徑的性質(zhì)、等角的余角相等、弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會尋找特殊點解決問題，屬于中考壓軸題．