Question

14．已知菱形A₁B₁C₁D₁的邊長為2，∠A₁B₁C₁=60°，對角線A₁C₁、B₁D₁相交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B₁，OA₁所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以B₁D₁為對角線作菱形B₁C₂D₁A₂∽菱形A₁B₁C₁D₁，再以A₂C₂為對角線作菱形A₂B₂C₂D₂∽菱形B₁C₂D₁A₂，再以B₂D₂為對角線作菱形B₂C₃D₂A₃∽菱形A₂B₂C₂D₂，…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，在y軸的正半軸上得到點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n，則點(diǎn)A₂₀₁₇的坐標(biāo)為（0，3²⁰¹⁶）．

Answer 1

分析 先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出A₁的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出OB₁的長，再由銳角三角函數(shù)的定義求出OA₂的長，故可得出A₂的坐標(biāo)，同理可得出A₃的坐標(biāo)，找出規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：∵菱形A₁B₁C₁D₁的邊長為2，∠A₁B₁C₁=60°，
∴OA₁=A₁B₁•sin30°=2×，$\frac{1}{2}$=1，OB₁=A₁B₁•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁（0，1）．
∵B₁C₂D₁A₂∽菱形A₁B₁C₁D₁，
∴OA₂=$\frac{O{B}_{1}}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3，
∴A₂（0，3）．
同理可得A₃（0，9）…
∴A₂₀₁₇（0，3²⁰¹⁶）．
故答案為：（0，3²⁰¹⁶）．

點(diǎn)評 本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，熟知相似多邊形的對應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．